Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de EDOs lineares com termos não homogêneos que possuem uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é . Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complexas:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Primeiro, lembramos que a função pode ser expressa em termos de exponenciais:
Portanto, a equação fica:
Vamos supor uma solução particular da forma:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
.
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
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Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em em caso afirmativo, determine :
d)