Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de EDOs lineares com termos não homogêneos que possuem uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes são complexas:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Primeiro, lembramos que a função
pode ser expressa em termos de exponenciais:
Portanto, a equação fica:
Vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
.
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
.
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
em caso afirmativo, determine
:
d)
d)