Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f'(x0) :
d) f(x) = 2 x^3 + 2 (x0 = 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função é derivável no ponto . A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar aplicar a definição de derivada e verificar se o limite existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite que define a derivada existir. A definição de derivada é:

Passo 3

Vamos calcular onde :
Vamos expandir :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Portanto,

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:
Simplificamos dividindo cada termo por :

Passo 6

Agora, calculamos o limite conforme :

Resposta

A função é derivável em e a derivada nesse ponto é .

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