Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
em caso afirmativo, determine
:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
é derivável no ponto
. A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar aplicar a definição de derivada e verificar se o limite existe nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se o limite que define a derivada existir. A definição de derivada é:
Passo 3
Vamos calcular
onde
:
Vamos expandir
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Portanto,
Passo 5
Substituindo na definição da derivada:
Simplificamos dividindo cada termo por
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite conforme
:
Resposta
A função
é derivável em
e a derivada nesse ponto é
.