Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em em caso afirmativo, determine :
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função é derivável no ponto . A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar aplicar a definição de derivada e verificar se o limite existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite que define a derivada existir. A definição de derivada é:

Passo 3

Vamos calcular onde :
Vamos expandir :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Portanto,

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:
Simplificamos dividindo cada termo por :

Passo 6

Agora, calculamos o limite conforme :

Resposta

A função é derivável em e a derivada nesse ponto é .

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Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
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.
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Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico .