Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. A equação que temos é:
Nesse método, a ideia é encontrar a solução geral da equação, que é composta pela solução homogênea (quando o lado direito é zero) e pela solução particular (devido ao lado direito não ser zero). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como assumir formas para a solução particular com base no termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea da equação:
Para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos:
Portanto, as raízes são complexas
e
. Isso nos leva a uma solução homogênea da forma:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
O lado direito é composto por dois termos: e
. Vamos tratar cada um separadamente e depois somar as soluções particulares correspondentes.
Primeiro termo:
Para esse termo, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Segundo termo:
Aqui, como já temos
e na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Então, assumimos:
Onde
e
são novos coeficientes a serem encontrados.
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas necessárias e substituir na equação original para encontrar os coeficientes
e
.
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação :
Comparando os coeficientes:
Então, a primeira solução particular é:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, temos que os coeficientes dos termos independentes e dos termos com
devem coincidir:
Comparando os termos com
:
Comparando os termos com :
Agora, comparando os termos sem
:
Isso indica que não há termos constantes adicionais, então nossa solução particular
é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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.
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
em caso afirmativo, determine
:
d)
d)
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