Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são continuas nos dados numeros :

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função que é definida de três jeitos diferentes, dependendo de onde está o x: para x menor que 0, é o cosseno de x; para x igual a 0, é 0; e para x maior que 0, é 1 menos x ao quadrado. A parada aqui é verificar se essa função é contínua no ponto a = 0. Pra isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Vamos precisar calcular os limites pela esquerda e pela direita em x = 0 e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f é contínua em a se três condições forem satisfeitas:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a).
Vamos aplicar isso no nosso caso, onde a = 0.

Passo 3

1. Verificar se f(a) está definida:
Olha aí no enunciado, para x = 0, f(x) = 0. Então, f(0) = 0. Isso tá definido, primeira condição ok.

Passo 4

2. Calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0:
Como a função é definida de forma diferente para x < 0 e x > 0, vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda (x → 0⁻):
Para x < 0, f(x) = cos(x). Então,
Limite pela direita (x → 0⁺):
Para x > 0, f(x) = 1 - x². Então,
Limite geral:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral existe e é igual a 1.

Passo 5

3. Comparar o limite com f(a):
Calculamos que o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 é 1. E f(0) = 0.
Então,

Resposta

A função não é contínua em a = 0, porque o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 é 1, diferente de f(0) que é 0.

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