Encontre os valores de e que tornam continua em toda parte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o seu domínio. A função é definida por partes, então vamos usar o conceito de continuidade para funções definidas em intervalos distintos. Para isso, precisamos garantir que os limites laterais nas fronteiras dos intervalos sejam iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, que é em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ) usando a primeira parte da função:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então:
Agora, substituímos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( ) usando a segunda parte da função:
Substituímos :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:

Passo 5

Simplificando a equação:
çã

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto , onde a função muda novamente de definição. Precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 3 pela direita.

Passo 7

Calculando o limite pela esquerda ( ) usando a segunda parte da função:
Substituímos :

Passo 8

Calculando o limite pela direita ( ) usando a terceira parte da função:
Substituímos :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:

Passo 9

Simplificando a segunda equação:
çã

Passo 10

Agora, temos um sistema de duas equações:
çãçã
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 11

Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação de :
çã
Agora, temos:
çãçã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 2:

Passo 12

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em toda parte são e .

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Seja responda:
Em quais pontos existe apenas o limite esquerdo?
Calcule os limites laterais:
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são continuas nos dados numeros :
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são continuas nos dados numeros :