Encontre os valores de a e b que tornam f continua em toda parte. f(x)=cx^2-4x-2, se x <= 2 a x^2-b x+3, se 2= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o seu domínio. A função é definida por partes, então vamos usar o conceito de continuidade para funções definidas em intervalos distintos. Para isso, precisamos garantir que os limites laterais nas fronteiras dos intervalos sejam iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, que é em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2 x^2 - 4x - 2 ) usando a primeira parte da função:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
(x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2
Então:
limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4
Agora, substituímos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2 (a x^2 - b x + 3) ) usando a segunda parte da função:
a(2)^2 - b(2) + 3 = 4a - 2b + 3
Substituímos 4a - 2b + 3 = 4 :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:

Passo 5

Simplificando a equação:
4a - 2b + 3 = 4 4a - 2b = 1 (Equação 1) çã

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto , onde a função muda novamente de definição. Precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 3 pela direita.

Passo 7

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 3^- f(x) = limx to 3 (a x^2 - b x + 3) ) usando a segunda parte da função:
a(3)^2 - b(3) + 3 = 9a - 3b + 3
Substituímos :

Passo 8

Calculando o limite pela direita ( limx to 3^+ f(x) = limx to 3 (2x - a + b) ) usando a terceira parte da função:
2(3) - a + b = 6 - a + b
Substituímos 9a - 3b + 3 = 6 - a + b :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:

Passo 9

Simplificando a segunda equação:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b 9a + a - 3b - b = 6 - 3 10a - 4b = 3 (Equação 2) çã

Passo 10

Agora, temos um sistema de duas equações:
4a - 2b = 1 (Equação 1) 10a - 4b = 3 (Equação 2) çãçã
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 11

Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação de 2(4a - 2b) = 2(1) 8a - 4b = 2 (Equação 3) :
8a - 4b = 2 (Equação 3) 10a - 4b = 3 (Equação 2) çã
Agora, temos:
(10a - 4b) - (8a - 4b) = 3 - 2 2a = 1 a = 12 çãçã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 2:

Passo 12

Agora que encontramos 4(12) - 2b = 1 2 - 2b = 1 -2b = -1 b = 12 , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em toda parte são e .

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