Encontre os valores de e que tornam continua em toda parte.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o seu domínio. A função é definida por partes, então vamos usar o conceito de continuidade para funções definidas em intervalos distintos. Para isso, precisamos garantir que os limites laterais nas fronteiras dos intervalos sejam iguais ao valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, que é em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2 x^2 - 4x - 2 ) usando a primeira parte da função:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
(x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2
Então:
limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4
Agora, substituímos :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2 (a x^2 - b x + 3) ) usando a segunda parte da função:
a(2)^2 - b(2) + 3 = 4a - 2b + 3
Substituímos 4a - 2b + 3 = 4 :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:
Passo 5
Simplificando a equação:
4a - 2b + 3 = 4 4a - 2b = 1 (Equação 1) çã
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto , onde a função muda novamente de definição. Precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 3 pela direita.
Passo 7
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 3^- f(x) = limx to 3 (a x^2 - b x + 3) ) usando a segunda parte da função:
a(3)^2 - b(3) + 3 = 9a - 3b + 3
Substituímos :
Passo 8
Calculando o limite pela direita ( limx to 3^+ f(x) = limx to 3 (2x - a + b) ) usando a terceira parte da função:
2(3) - a + b = 6 - a + b
Substituímos 9a - 3b + 3 = 6 - a + b :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:
Passo 9
Simplificando a segunda equação:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b 9a + a - 3b - b = 6 - 3 10a - 4b = 3 (Equação 2) çã