Encontre os valores de e que tornam continua em toda parte.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o seu domínio. A função é definida por partes, então vamos usar o conceito de continuidade para funções definidas em intervalos distintos. Para isso, precisamos garantir que os limites laterais nas fronteiras dos intervalos sejam iguais ao valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, que é em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda () usando a primeira parte da função:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então:
Agora, substituímos :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita () usando a segunda parte da função:
Substituímos :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:
Passo 5
Simplificando a equação:
çã
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto , onde a função muda novamente de definição. Precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 3 pela direita.
Passo 7
Calculando o limite pela esquerda () usando a segunda parte da função:
Substituímos :
Passo 8
Calculando o limite pela direita () usando a terceira parte da função:
Substituímos :
Para a continuidade em , os dois limites devem ser iguais:
Passo 9
Simplificando a segunda equação:
çã
Passo 10
Agora, temos um sistema de duas equações:
çãçã
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 11
Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação de :
çã
Agora, temos:
çãçã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 2:
Passo 12
Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em toda parte são e .