Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são continuas nos dados numeros :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Isso significa que vamos analisar o limite de quando se aproxima de 1 e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para no ponto :
  1. Função definida em :
    A função nos diz que quando , . Então, a função está definida em .
  2. Existência do limite quando se aproxima de 1:
    Precisamos calcular .
    Vamos analisar:
    • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ), é um número muito pequeno positivo, então tende a .
    • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), é um número muito pequeno negativo, então tende a .
    Como os limites laterais são diferentes e tendem a infinito positivo e negativo, respectivamente, o limite não existe.
  3. Comparação do limite com o valor da função em :
    Já que o limite não existe, não precisamos comparar com .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 1 não existe, a função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre os valores de e que tornam continua em toda parte.
Seja responda:
Em quais pontos existe apenas o limite esquerdo?
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são continuas nos dados numeros :
Seção 2.5: Exercícios .