Use a definição de derivada para para resolver o problema a seguir.
Dada a função f(x) = 3x^3 + 2x, verifique que f'(1) = 11.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa verificar que a derivada dessa função em é igual a 11, ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de em é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da razão incremental quando tende a zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para . Então, temos:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Vamos expandir :
Então:

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Substituindo e na definição da derivada:

Passo 7

Simplificando a fração:

Passo 8

Agora, tiramos o limite quando tende a 0:

Resposta

Portanto, , como queríamos verificar.

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