Use a definição de produto escalar, a cdot barb=a b cos theta, o o fato de que a cdot b=ax bx+ay by+az bz para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por a=3,0 i+3,0 j+3,0 k e b=2,0 i+1,0 j+3,0 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores no espaço tridimensional:
a = 3,0 i + 3,0 j + 3,0 k
b = 2,0 i + 1,0 j + 3,0 k
Nos pedem para calcular o ângulo entre esses dois vetores usando a definição de produto escalar. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto escalar de dois vetores e como ele se relaciona com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores a cdot b = ax bx + ay by + az bz e a cdot b = (3,0)(2,0) + (3,0)(1,0) + (3,0)(3,0) usando a fórmula:
a cdot b = 6,0 + 3,0 + 9,0 = 18,0
Substituindo os componentes dos vetores:
Então, o produto escalar é igual a 18,0.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e |a| = raiz(3,0)^2 + (3,0)^2 + (3,0)^2 = raiz9,0 + 9,0 + 9,0 = raiz27,0 approx 5,196 . A magnitude de um vetor |b| = raiz(2,0)^2 + (1,0)^2 + (3,0)^2 = raiz4,0 + 1,0 + 9,0 = raiz14,0 approx 3,741 é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos usar a definição de produto escalar que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos theta entre os vetores:
18,0 = (5,196) cdot (3,741) cdot cos theta
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar cos theta = 18,05,196 times 3,741 approx 18,019,442 approx 0,927 para encontrar o ângulo:
theta = arccos(0,927) approx 22,0^circ
Para encontrar , aplicamos a função arco cosseno (ou cosseno inverso):

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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