Determine o seguinte limite caso exista, caso contrário, justifique
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Isso está relacionado com o conteúdo de Limites de Funções em matemática, e vamos precisar conhecer como simplificar expressões e analisar o comportamento da função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então, substituindo:
Passo 3
Aqui, percebemos que ao substituir
, o denominador se torna zero enquanto o numerador é 11. Isso nos leva a uma situação onde temos uma divisão por zero, o que não é definida matematicamente. Mas vamos entender melhor o que isso significa para o limite.
Passo 4
Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero, o comportamento da função depende de como o denominador se aproxima desse zero. Para entender isso, vamos fatorar o denominador para ver se há algum simplificação possível.
Fatorando o denominador:
Portanto, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de
. Vejamos de qual lado
está se aproximando:
-
Quando
se aproxima de 2 pela direita ( ): -
é um número positivo muito pequeno. -
é aproximadamente 5, que é positivo. - Portanto, o denominador é positivo e se aproxima de zero.
- O numerador é 11, que é positivo.
- Então, a fração tende a
.
-
-
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ): -
é um número negativo muito pequeno. -
é aproximadamente 5, que é positivo. - Portanto, o denominador é negativo e se aproxima de zero.
- O numerador é 11, que é positivo.
- Então, a fração tende a
.
-
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), podemos concluir que o limite não existe. Isso porque, para o limite existir, os dois lados precisam se aproximar do mesmo valor.
Resposta
O limite não existe porque a função tende a
quando
se aproxima de 2 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.
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(a)
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, o o fato de que
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.