Determine o seguinte limite caso exista, caso contrário, justifique

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Isso está relacionado com o conteúdo de Limites de Funções em matemática, e vamos precisar conhecer como simplificar expressões e analisar o comportamento da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então, substituindo:

Passo 3

Aqui, percebemos que ao substituir , o denominador se torna zero enquanto o numerador é 11. Isso nos leva a uma situação onde temos uma divisão por zero, o que não é definida matematicamente. Mas vamos entender melhor o que isso significa para o limite.

Passo 4

Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero, o comportamento da função depende de como o denominador se aproxima desse zero. Para entender isso, vamos fatorar o denominador para ver se há algum simplificação possível.
Fatorando o denominador:
Portanto, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de . Vejamos de qual lado está se aproximando:
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    • é um número positivo muito pequeno.
    • é aproximadamente 5, que é positivo.
    • Portanto, o denominador é positivo e se aproxima de zero.
    • O numerador é 11, que é positivo.
    • Então, a fração tende a .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    • é um número negativo muito pequeno.
    • é aproximadamente 5, que é positivo.
    • Portanto, o denominador é negativo e se aproxima de zero.
    • O numerador é 11, que é positivo.
    • Então, a fração tende a .

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), podemos concluir que o limite não existe. Isso porque, para o limite existir, os dois lados precisam se aproximar do mesmo valor.

Resposta

O limite não existe porque a função tende a quando se aproxima de 2 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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