Use derivação implícita para encontrar a reta tangente a elipse
no ponto
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à elipse dada pela equação
no ponto (1, -1). Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da elipse. Isso significa que a gente vai derivar cada termo em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Então, derivando cada termo:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
, que representa a inclinação da reta tangente.
Juntando os termos com
:
Fatorando
:
Então, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico (1, -1). Basta substituir
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação
e passando pelo ponto (1, -1), podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Resposta
A reta tangente à elipse no ponto (1, -1) é
. Portanto, a alternativa correta é a (B)
.
Exercícios relacionados
Para o exercício anterior, considere que o produto alfa consome 55 kg por cada unidade fabricada, o produto beta consome 30 kg por unidade e gama consome 7 kg por unidade. Em caso de restrição de entrega de matéria prima pelo fornecedor, qual produto você priorizaria? Faça um ranqueamento para a prioridade de vendas de cada produto.
Calcule o limite
.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
O departamento de montagem de uma empresa de produção de mesas, cadeiras e carteiras conta com 5 funcionários diretos com jornada de trabalho de 44 horas semanais. O salário de cada um é de R$ 12,00 por hora. Os encargos sociais e trabalhistas correspodem 35,80% (encargos sociais e trabalhistas do Grupo A) e 57,73% (encargos sociais e trabalhistas do grupo B). No mês de agosto houve quatro domingos e um feriado (que caiu em uma quarta-feira). Um dos funcionários faltou dois dias, que foram justificadas e abonadas. Qual o custo da mão de obra direta atribuida a cada produto? Qual o custo das horas improdutivas (que será tratado como um custo indireto de fabricação)?
PRODUTOS | TEMPO <br> (HORAS) |
---|---|
Mesa | 120 |
Cadeira com braço | 270 |
Cadeira sem braço | 225 |
Carteiras | 210 |
Sejam
funções deriváveis. Usando os seguintes dados:
calcule
.
(a) -1 ;
(b) ;
© 1 ;
(d) ;
(e) .
(a) -1 ;
(b)
© 1 ;
(d)
(e)