Use derivação implícita para encontrar a reta tangente a elipse
no ponto
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à elipse dada pela equação
no ponto (1, -1). Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da elipse. Isso significa que a gente vai derivar cada termo em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Então, derivando cada termo:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
, que representa a inclinação da reta tangente.
Juntando os termos com
:
Fatorando
:
Então, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico (1, -1). Basta substituir
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação
e passando pelo ponto (1, -1), podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Resposta
A reta tangente à elipse no ponto (1, -1) é
. Portanto, a alternativa correta é a (B)
.