Use derivação implícita para encontrar a reta tangente a elipse x^2 + x*y + y^2 = 1 no ponto (1, -1).
(A) y = x + 2
(B) y = x - 2
© y = -x
(D) y = -2 x + 1
(E) y = 2 x - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à elipse dada pela equação no ponto (1, -1). Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da elipse. Isso significa que a gente vai derivar cada termo em relação a , lembrando que é uma função de .
Então, derivando cada termo:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar , que representa a inclinação da reta tangente.
Juntando os termos com :
Fatorando :
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico (1, -1). Basta substituir e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação e passando pelo ponto (1, -1), podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:

Resposta

A reta tangente à elipse no ponto (1, -1) é . Portanto, a alternativa correta é a (B) .

Exercícios relacionados

Para o exercício anterior, considere que o produto alfa consome 55 kg por cada unidade fabricada, o produto beta consome 30 kg por unidade e gama consome 7 kg por unidade. Em caso de restrição de entrega de matéria prima pelo fornecedor, qual produto você priorizaria? Faça um ranqueamento para a prioridade de vendas de cada produto.
Calcule o limite L=lim x 0 sin (2 x)tan (5 x).
(a) L=25;
(b) L=52;
© L=0;
(d) L=2;
(e) L=1.
O departamento de montagem de uma empresa de produção de mesas, cadeiras e carteiras conta com 5 funcionários diretos com jornada de trabalho de 44 horas semanais. O salário de cada um é de R$ 12,00 por hora. Os encargos sociais e trabalhistas correspodem 35,80% (encargos sociais e trabalhistas do Grupo A) e 57,73% (encargos sociais e trabalhistas do grupo B). No mês de agosto houve quatro domingos e um feriado (que caiu em uma quarta-feira). Um dos funcionários faltou dois dias, que foram justificadas e abonadas. Qual o custo da mão de obra direta atribuida a cada produto? Qual o custo das horas improdutivas (que será tratado como um custo indireto de fabricação)?
PRODUTOS TEMPO <br> (HORAS)
Mesa 120
Cadeira com braço 270
Cadeira sem braço 225
Carteiras 210
Sejam f, g: R R funções deriváveis. Usando os seguintes dados:
f(0)=1, f(2)=-1, f^prime(0)=12, & f^prime(2)=-13 g(1) & =0, g(0)=1, g^prime(1)=-2, g^prime(0)=3
calcule (f circ g)^prime(1).
(a) -1 ;
(b) -12;
© 1 ;
(d) 23;
(e) 12.