Use derivação implícita para encontrar a reta tangente a elipse x^2 + x*y + y^2 = 1 no ponto (1, -1).
(A) y = x + 2
(B) y = x - 2
© y = -x
(D) y = -2 x + 1
(E) y = 2 x - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à elipse dada pela equação no ponto (1, -1). Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da elipse. Isso significa que a gente vai derivar cada termo em relação a , lembrando que é uma função de .
Então, derivando cada termo:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar , que representa a inclinação da reta tangente.
Juntando os termos com :
Fatorando :
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico (1, -1). Basta substituir e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação e passando pelo ponto (1, -1), podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:

Resposta

A reta tangente à elipse no ponto (1, -1) é . Portanto, a alternativa correta é a (B) .

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