Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente tem a função
e precisa achar a derivada dessa função usando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar saber como tirar o logaritmo de uma função e como derivar funções que estão multiplicadas umas pelas outras.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação. Então, temos:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que o log de um produto é a soma dos logs, podemos separar os termos:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo usando propriedades do logaritmo. Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é função de
, usamos a regra da cadeia quando necessário:
Passo 6
Calculando cada derivada:
Aqui, usamos que a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, reorganizamos a equação:
Passo 8
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada da função é: