Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
y = raiz(x) * e^(y^2 - x) * (x + 1)^(2 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente tem a função e precisa achar a derivada dessa função usando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar saber como tirar o logaritmo de uma função e como derivar funções que estão multiplicadas umas pelas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação. Então, temos:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que o log de um produto é a soma dos logs, podemos separar os termos:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo usando propriedades do logaritmo. Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é função de , usamos a regra da cadeia quando necessário:

Passo 6

Calculando cada derivada:
Aqui, usamos que a derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é .

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, reorganizamos a equação:

Passo 8

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada da função é:

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