Sejam f(x) = x + e^x. Mostre que f é injetorar2. Seja g a inversa de f. Mostre que g é derivável e que
g'(x) = 1 / (1 + e^(g(x)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e quer que eu mostre que ela é injetora. Depois, precisamos encontrar a inversa dessa função, chamada , mostrar que ela é derivável e encontrar a expressão para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções injetoras, existência de inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por apenas um valor de entrada. Em outras palavras, se implica que , então é injetora.

Passo 3

Vamos verificar se é injetora. Suponha que . Então:
Queremos mostrar que isso implica .

Passo 4

Para isso, vamos considerar a derivada de . A derivada nos diz como a função está se comportando (se está aumentando ou diminuindo).
Como é sempre positivo, para todo . Isso significa que está sempre aumentando.

Passo 5

Como é estritamente crescente (a derivada é sempre positiva), isso significa que só pode acontecer se . Portanto, é injetora.

Passo 6

Como é injetora e contínua (pois é a soma de funções contínuas), ela tem uma inversa . Agora, vamos mostrar que é derivável e encontrar .

Passo 7

Para encontrar a derivada da função inversa, usamos a regra da derivada da inversa, que diz:

Passo 8

Já calculamos . Então, substituindo na fórmula da derivada da inversa:

Resposta

Portanto, é injetora, é derivável e a derivada de é .

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