Sejam
. Mostre que
é injetorar2. Seja
a inversa de
. Mostre que
é derivável e que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
e quer que eu mostre que ela é injetora. Depois, precisamos encontrar a inversa dessa função, chamada
, mostrar que ela é derivável e encontrar a expressão para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções injetoras, existência de inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por apenas um valor de entrada. Em outras palavras, se
implica que
, então
é injetora.
Passo 3
Vamos verificar se
é injetora. Suponha que
. Então:
Queremos mostrar que isso implica
.
Passo 4
Para isso, vamos considerar a derivada de
. A derivada nos diz como a função está se comportando (se está aumentando ou diminuindo).
Como
é sempre positivo,
para todo
. Isso significa que
está sempre aumentando.
Passo 5
Como
é estritamente crescente (a derivada é sempre positiva), isso significa que
só pode acontecer se
. Portanto,
é injetora.
Passo 6
Como
é injetora e contínua (pois é a soma de funções contínuas), ela tem uma inversa
. Agora, vamos mostrar que
é derivável e encontrar
.
Passo 7
Para encontrar a derivada da função inversa, usamos a regra da derivada da inversa, que diz:
Passo 8
Já calculamos
. Então, substituindo na fórmula da derivada da inversa:
Resposta
Portanto,
é injetora,
é derivável e a derivada de
é
.