Determine o valor dos limites abaixo: lim x 7 x^2+x-56x^3-7 x^2+3 x-21

Passo 1

Vamos determinar o limite . Estamos trabalhando com limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 + x - 56 = (x + 8)(x - 7) . Procuramos dois números que multiplicados resultem em -56 e que somados dê 1. Esses números são 8 e -7. Então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador 7^3 -7(7)^2 +3(7) -21 = 343 - 343 + 21 - 21 = 0 . Para isso, podemos usar o método de fatoração por agrupamento ou testar possíveis raízes. Vamos testar x^3 -7x^2+3x-21 = (x -7)(x^2 +0x +3) = (x -7)(x^2 +3) :
Como substituindo 7 no denominador resulta em 0, sabemos que é um fator. Fazendo a divisão do polinômio por , obtemos:

Passo 4

Vamos substituir os fatores encontrados na expressão original:
(x +8)(x -7)(x -7)(x^2 +3)
Podemos cancelar o fator comum x +8x^2 +3 :

Passo 5

Agora, substituímos 7 +87^2 +3 = 1549 +3 = 1552 por 7 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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