Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de: e^-2(t-1) u(t-1) longrightarrow x(F)=integral-infty^infty x(t) e^-J 2 pi F t d t

Passo 1

Vamos calcular a transformada de Fourier da função . Estamos trabalhando com a análise de sinais usando a transformada de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que têm um deslocamento no tempo e são multiplicadas por uma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x(t) = e^-2(t-1) u(t-1) . Aqui, é a função degrau unitário que desloca a função para . Assim, nossa função fica:

Passo 3

A definição da transformada de Fourier é:
X(F) = integral-infty^infty x(t) e^-j 2 pi F t , dt
onde é a unidade imaginária e representa a frequência.

Passo 4

Como X(F) = integral1^infty e^-2(t-1) e^-j 2 pi F t , dt para , a função também será zero nesse intervalo. Portanto, podemos ajustar os limites da integral de para para até :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^-2(t-1) e^-j 2 pi F t = e^2 e^-2t e^-j 2 pi F t = e^2 e^-t(2 + j 2 pi F)

Passo 6

Substituindo essa simplificação na integral, temos:
X(F) = e^2 integral1^infty e^-t(2 + j 2 pi F) , dt

Passo 7

Agora, vamos integrar integral1^infty e^-t(2 + j 2 pi F) , dt = [ e^-t(2 + j 2 pi F)-(2 + j 2 pi F) ]1^infty em relação a de 1 a infinito:

Passo 8

Avaliar os limites da integral:
  • Quando integral1^infty e^-t(2 + j 2 pi F) , dt = 0 - ( e^-(2 + j 2 pi F)-(2 + j 2 pi F) ) = e^-(2 + j 2 pi F)2 + j 2 pi F ,
  • Quando , temos
Então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de X(F) = e^2 cdot e^-(2 + j 2 pi F)2 + j 2 pi F = e^2 e^-2 e^-j 2 pi F2 + j 2 pi F = e^-j 2 pi F2 + j 2 pi F :

Resposta

A transformada de Fourier de X(F) = e^-j 2 pi F2 + j 2 pi F é:

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