Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de: X1(j omega)=2 pi de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as transformadas inversas de Fourier da função . Vamos usar a equação de síntese da transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar do domínio da frequência para o domínio do tempo. Para isso, precisamos entender como as funções delta de Dirac influenciam essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de síntese da transformada de Fourier inversa:
x(t) = 12pi integral-infty^infty X(jomega) e^jomega t domega
Aqui, é a transformada de Fourier que temos, e queremos encontrar , a função no tempo.

Passo 3

Agora, vamos substituir x(t) = 12pi integral-infty^infty [2 pi de na equação:

Passo 4

Podemos separar a integral em três partes, já que a integral da soma é a soma das integrais:
x(t) = 12pi [ 2pi integral-infty^infty de

Passo 5

Sabemos que a integral de x(t) = 12pi [ 2pi e^j cdot 0 cdot t + pi e^j 4pi t + pi e^-j 4pi t ] multiplicada por alguma função x(t) = 12pi [ 2pi + pi e^j 4pi t + pi e^-j 4pi t ] é igual a . Aplicando isso às três integrais:
Simplificando que é igual a 1:

Passo 6

Podemos fatorar o x(t) = 12pi [ 2pi + pi ( e^j 4pi t + e^-j 4pi t ) ] nos termos restantes:

Passo 7

Agora, lembramos que x(t) = 12pi [ 2pi + pi cdot 2 cos(4pi t) ] = 12pi [ 2pi + 2pi cos(4pi t) ] . Aplicando isso:

Passo 8

Fatorando x(t) = 12pi cdot 2pi [ 1 + cos(4pi t) ] = 1 + cos(4pi t) :

Resposta

A transformada inversa de Fourier de x(t) = 1 + cos(4pi t) é:

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