Use a fórmula da radiação de Planck para mostrar que para altas temperaturas vale .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar a fórmula da radiação de Planck, que descreve como a energia é distribuída entre as diferentes frequências da radiação de um corpo negro. O objetivo é mostrar que, quando a temperatura T é alta, a energia média por fóton é igual a , onde é a constante de Boltzmann.

Passo 2

Para resolver isso, começamos lembrando a fórmula de Planck para a densidade de energia por unidade de frequência:
Aqui, é a densidade de energia, é a frequência, é a constante de Planck, é a velocidade da luz, e é a temperatura.

Passo 3

Quando a temperatura é muito alta, o termo se torna pequeno porque cresce com aumento de . Nesse caso, podemos usar a aproximação:
Isso simplifica a fórmula de Planck para altas temperaturas.

Passo 4

Substituindo a aproximação na fórmula de Planck, temos:
Essa é a Lei de Rayleigh-Jeans, que é válida para altas temperaturas ou baixas frequências.

Passo 5

Agora, para encontrar a energia média por fóton , usamos a relação entre energia, densidade de energia e número de fótons. Sabemos que a energia total é proporcional a e, considerando que o número de fótons também aumenta com a temperatura, a energia média por fóton tende a ser proporcional a .

Passo 6

Matematicamente, integrando sobre todas as frequências e considerando a distribuição de Rayleigh-Jeans, encontramos que:
Isso mostra que, para altas temperaturas, a energia média por fóton é igual a .

Resposta

Para altas temperaturas, a energia média por fóton vale .

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