Use a fórmula da radiação de Planck para mostrar que para altas temperaturas vale
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar a fórmula da radiação de Planck, que descreve como a energia é distribuída entre as diferentes frequências da radiação de um corpo negro. O objetivo é mostrar que, quando a temperatura T é alta, a energia média por fóton
é igual a
, onde
é a constante de Boltzmann.
Passo 2
Para resolver isso, começamos lembrando a fórmula de Planck para a densidade de energia por unidade de frequência:
Aqui,
é a densidade de energia,
é a frequência,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz, e
é a temperatura.
Passo 3
Quando a temperatura
é muito alta, o termo
se torna pequeno porque
cresce com aumento de
. Nesse caso, podemos usar a aproximação:
Isso simplifica a fórmula de Planck para altas temperaturas.
Passo 4
Substituindo a aproximação na fórmula de Planck, temos:
Essa é a Lei de Rayleigh-Jeans, que é válida para altas temperaturas ou baixas frequências.
Passo 5
Agora, para encontrar a energia média por fóton
, usamos a relação entre energia, densidade de energia e número de fótons. Sabemos que a energia total é proporcional a
e, considerando que o número de fótons também aumenta com a temperatura, a energia média por fóton tende a ser proporcional a
.
Passo 6
Matematicamente, integrando sobre todas as frequências e considerando a distribuição de Rayleigh-Jeans, encontramos que:
Isso mostra que, para altas temperaturas, a energia média por fóton é igual a
.
Resposta
Para altas temperaturas, a energia média por fóton vale
.
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