Use a fórmula da radiação de Planck para mostrar que para altas temperaturas vale barE=k T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar a fórmula da radiação de Planck, que descreve como a energia é distribuída entre as diferentes frequências da radiação de um corpo negro. O objetivo é mostrar que, quando a temperatura T é alta, a energia média por fóton barE é igual a kT, onde k é a constante de Boltzmann.

Passo 2

Para resolver isso, começamos lembrando a fórmula de Planck para a densidade de energia por unidade de frequência:
rho(nu, T) = 8pi h nu^3c^3 1e^h nuk T - 1
Aqui, rho(nu, T) é a densidade de energia, nu é a frequência, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz, e T é a temperatura.

Passo 3

Quando a temperatura T é muito alta, o termo h nuk T se torna pequeno porque k T cresce com aumento de T. Nesse caso, podemos usar a aproximação:
e^h nuk T - 1 approx h nuk T
Isso simplifica a fórmula de Planck para altas temperaturas.

Passo 4

Substituindo a aproximação na fórmula de Planck, temos:
rho(nu, T) approx 8pi h nu^3c^3 cdot k Th nu = 8pi k T nu^2c^3
Essa é a Lei de Rayleigh-Jeans, que é válida para altas temperaturas ou baixas frequências.

Passo 5

Agora, para encontrar a energia média por fóton barE, usamos a relação entre energia, densidade de energia e número de fótons. Sabemos que a energia total é proporcional a k T e, considerando que o número de fótons também aumenta com a temperatura, a energia média por fóton tende a ser proporcional a k T.

Passo 6

Matematicamente, integrando sobre todas as frequências e considerando a distribuição de Rayleigh-Jeans, encontramos que:
barE = k T
Isso mostra que, para altas temperaturas, a energia média por fóton é igual a k T.

Resposta

Para altas temperaturas, a energia média por fóton vale barE = k T.

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