Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use e como as incertezas e . O princípio de incerteza é cumprido?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o produto das incertezas na posição ( ) e no momento ( ) de uma partícula. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é um conceito fundamental em mecânica quântica. Para isso, vamos precisar das fórmulas e , onde e são as médias quadráticas da posição e do momento, respectivamente, e e são as médias dessas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a incerteza na posição, . Usamos a fórmula:
Aqui, representa a média dos quadrados das posições da partícula, e é a média da posição. Subtraindo o quadrado da média da média dos quadrados e tirando a raiz quadrada, obtemos a incerteza na posição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a incerteza no momento, , usando a fórmula:
Similarmente, é a média dos quadrados dos momentos da partícula, e é a média do momento. Fazendo a mesma operação de subtração e raiz quadrada, temos a incerteza no momento.

Passo 4

Com as incertezas e calculadas, vamos agora multiplicá-las para obter o produto das incertezas:
Esse produto nos vai ajudar a verificar se o Princípio da Incerteza de Heisenberg está sendo cumprido.

Passo 5

O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que o produto das incertezas na posição e no momento deve ser, no mínimo, metade da constante de Planck reduzida ( ):
Vamos comparar o valor que obtivemos no passo anterior com para ver se a condição é satisfeita.

Resposta

Após calcular e e multiplicá-los, verificamos que é maior ou igual a . Portanto, o Princípio da Incerteza de Heisenberg é cumprido.

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