Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use e como as incertezas e . O princípio de incerteza é cumprido?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o produto das incertezas na posição () e no momento () de uma partícula. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é um conceito fundamental em mecânica quântica. Para isso, vamos precisar das fórmulas e , onde e são as médias quadráticas da posição e do momento, respectivamente, e e são as médias dessas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a incerteza na posição, . Usamos a fórmula:
Aqui, representa a média dos quadrados das posições da partícula, e é a média da posição. Subtraindo o quadrado da média da média dos quadrados e tirando a raiz quadrada, obtemos a incerteza na posição.
Passo 3
Agora, vamos calcular a incerteza no momento, , usando a fórmula:
Similarmente, é a média dos quadrados dos momentos da partícula, e é a média do momento. Fazendo a mesma operação de subtração e raiz quadrada, temos a incerteza no momento.
Passo 4
Com as incertezas e calculadas, vamos agora multiplicá-las para obter o produto das incertezas:
Esse produto nos vai ajudar a verificar se o Princípio da Incerteza de Heisenberg está sendo cumprido.
Passo 5
O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que o produto das incertezas na posição e no momento deve ser, no mínimo, metade da constante de Planck reduzida ():
Vamos comparar o valor que obtivemos no passo anterior com para ver se a condição é satisfeita.
Resposta
Após calcular e e multiplicá-los, verificamos que é maior ou igual a . Portanto, o Princípio da Incerteza de Heisenberg é cumprido.