Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use De e De como as incertezas De e De. O princípio de incerteza é cumprido?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o produto das incertezas na posição ( De) e no momento ( De) de uma partícula. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é um conceito fundamental em mecânica quântica. Para isso, vamos precisar das fórmulas De e De, onde x^2 e p^2 são as médias quadráticas da posição e do momento, respectivamente, e barx e barp são as médias dessas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a incerteza na posição, De. Usamos a fórmula:
De
Aqui, x^2 representa a média dos quadrados das posições da partícula, e barx é a média da posição. Subtraindo o quadrado da média da média dos quadrados e tirando a raiz quadrada, obtemos a incerteza na posição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a incerteza no momento, De, usando a fórmula:
De
Similarmente, p^2 é a média dos quadrados dos momentos da partícula, e barp é a média do momento. Fazendo a mesma operação de subtração e raiz quadrada, temos a incerteza no momento.

Passo 4

Com as incertezas De e De calculadas, vamos agora multiplicá-las para obter o produto das incertezas:
De
Esse produto nos vai ajudar a verificar se o Princípio da Incerteza de Heisenberg está sendo cumprido.

Passo 5

O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que o produto das incertezas na posição e no momento deve ser, no mínimo, metade da constante de Planck reduzida ( hbar/2):
Vamos comparar o valor que obtivemos no passo anterior com hbar2 para ver se a condição é satisfeita.

Resposta

Após calcular De e De e multiplicá-los, verificamos que De é maior ou igual a hbar2. Portanto, o Princípio da Incerteza de Heisenberg é cumprido.

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