Verifique que a função de onda
Psi(x, t)=cc A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a / 2+a / 2
é uma solução para a equação de Schroedinger na região -a / 2, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica onde precisamos verificar se uma função de onda específica, chamada Psi(x, t), é uma solução para a equação de Schrödinger. Essa função descreve uma partícula que se move livremente dentro de um certo intervalo, mas está confinada nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para uma partícula livre e entender como calcular derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Ela é dada por:
i hbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Aqui, i é a unidade imaginária, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e Psi(x, t) é a função de onda que queremos verificar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de Psi(x, t) em relação ao tempo t. A função dada é:
Psi(x, t) = A sin(2pi xa) e^-i E t / hbar
A derivada em relação ao tempo é:
partial Psipartial t = A sin(2pi xa) (-i Ehbar) e^-i E t / hbar = -i Ehbar Psi(x, t)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de Psi(x, t) em relação ao espaço x. A primeira derivada é:
partial Psipartial x = A (2pia) cos(2pi xa) e^-i E t / hbar
A segunda derivada é então:
partial^2 Psipartial x^2 = -A (2pia)^2 sin(2pi xa) e^-i E t / hbar = -(2pia)^2 Psi(x, t)

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de Schrödinger:
i hbar (-i Ehbar) Psi(x, t) = -hbar^22m (-(2pia)^2) Psi(x, t)
Simplificando o lado esquerdo:
i hbar (-i Ehbar) = E1
E o lado direito:
-hbar^22m (-(2pia)^2) = hbar^22m (2pia)^2
Portanto, temos:
E Psi(x, t) = hbar^22m (2pia)^2 Psi(x, t)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer x e t, os coeficientes devem ser iguais. Assim, temos:
E = hbar^22m (2pia)^2

Resposta

Portanto, a função de onda Psi(x, t) dada é realmente uma solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre confinada na região -a/2 < x < +a/2, desde que a energia E seja igual a dfrachbar^2 (2pi)^22m a^2.

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