Verifique que a função de onda
é uma solução para a equação de Schroedinger na região
, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica onde precisamos verificar se uma função de onda específica, chamada
, é uma solução para a equação de Schrödinger. Essa função descreve uma partícula que se move livremente dentro de um certo intervalo, mas está confinada nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para uma partícula livre e entender como calcular derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Ela é dada por:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a função de onda que queremos verificar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
. A função dada é:
A derivada em relação ao tempo é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
. A primeira derivada é:
A segunda derivada é então:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Portanto, temos:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer
e
, os coeficientes devem ser iguais. Assim, temos:
Resposta
Portanto, a função de onda
dada é realmente uma solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre confinada na região
, desde que a energia
seja igual a
.