Verifique que a função de onda
é uma solução para a equação de Schroedinger na região , para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica onde precisamos verificar se uma função de onda específica, chamada , é uma solução para a equação de Schrödinger. Essa função descreve uma partícula que se move livremente dentro de um certo intervalo, mas está confinada nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para uma partícula livre e entender como calcular derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Ela é dada por:
Aqui, é a unidade imaginária, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a função de onda que queremos verificar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo . A função dada é:
A derivada em relação ao tempo é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação ao espaço . A primeira derivada é:
A segunda derivada é então:

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Portanto, temos:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer e , os coeficientes devem ser iguais. Assim, temos:

Resposta

Portanto, a função de onda dada é realmente uma solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre confinada na região , desde que a energia seja igual a .

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