Se as funções de onda Psi1(x, t), Psi2(x, t) e Psi3(x, t) são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular U(x, t), mostre que a combinação linear arbitrária Psi(x, t)= c1 Psi1(x, t)+c2 Psi2(x, t)+c3 Psi3(x, t) também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos três soluções diferentes da equação de Schrödinger para uma certa energia potencial , podemos combinar essas soluções de forma arbitrária e ainda obter outra solução válida. Além disso, precisamos explicar o que essa combinação linear representa fisicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e o conceito de linearidade em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela é uma equação fundamental na mecânica quântica que descreve como o estado quântico de um sistema muda ao longo do tempo. A forma geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é:
ihbar partial Psi(x, t)partial t = ( -hbar^22m partial^2partial x^2 + U(x, t) ) Psi(x, t)
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia potencial.

Passo 3

Agora, o que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear? Em matemática, uma equação linear tem a propriedade de que a soma de duas soluções também é uma solução, e multiplicar uma solução por uma constante também é uma solução. Ou seja, se e são soluções, então qualquer combinação também será solução, onde e são constantes.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos três soluções da equação de Schrödinger: Psi(x, t) = c1 Psi1(x, t) + c2 Psi2(x, t) + c3 Psi3(x, t) , e . Queremos mostrar que uma combinação linear dessas soluções, dada por:
também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a mesma energia potencial .

Passo 5

Para provar isso, vamos substituir ihbar partial Psi(x, t)partial t = ( -hbar^22m partial^2partial x^2 + U(x, t) ) Psi(x, t) na equação de Schrödinger e verificar se a igualdade se mantém. Ou seja, devemos verificar se:
ihbar partialpartial t ( c1 Psi1 + c2 Psi2 + c3 Psi3 ) = ( -hbar^22m partial^2partial x^2 + U(x, t) ) ( c1 Psi1 + c2 Psi2 + c3 Psi3 )
Agora, substituindo :

Passo 6

Como as constantes c1 ( ihbar partial Psi1partial t ) + c2 ( ihbar partial Psi2partial t ) + c3 ( ihbar partial Psi3partial t ) = c1 ( -hbar^22m partial^2 Psi1partial x^2 + U Psi1 ) + c2 ( -hbar^22m partial^2 Psi2partial x^2 + U Psi2 ) + c3 ( -hbar^22m partial^2 Psi3partial x^2 + U Psi3 ) , e não dependem de nem de , podemos trazê-las para fora das derivadas:

Passo 7

Mas sabemos que cada ihbar partial Psiipartial t = -hbar^22m partial^2 Psiipartial x^2 + U Psii (onde c1 ( ES Psi1 ) + c2 ( ES Psi2 ) + c3 ( ES Psi3 ) = c1 ( ES Psi1 ) + c2 ( ES Psi2 ) + c3 ( ES Psi3 ) ) é uma solução da equação de Schrödinger para . Isso significa que para cada :
Portanto, substituindo de volta, vemos que os dois lados da equação se igualam:
Isso confirma que satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 8

Agora, vamos falar sobre o que essa combinação linear significa fisicamente. Em mecânica quântica, a função de onda contém todas as informações sobre o sistema. Quando combinamos diferentes funções de onda, estamos essencialmente descrevendo um superposição quântica. Isso significa que o sistema pode estar em múltiplos estados simultaneamente, e as amplitudes , e determinam a probabilidade de encontrar o sistema em cada um desses estados quando fazemos uma medição.

Resposta

Portanto, mostramos que uma combinação linear arbitrária das soluções , e também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a energia potencial . Fisicamente, essa combinação representa uma superposição quântica, onde o sistema pode existir simultaneamente em múltiplos estados com amplitudes determinadas pelos coeficientes , e .

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