Se as funções de onda e são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular , mostre que a combinação linear arbitrária também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos três soluções diferentes da equação de Schrödinger para uma certa energia potencial , podemos combinar essas soluções de forma arbitrária e ainda obter outra solução válida. Além disso, precisamos explicar o que essa combinação linear representa fisicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e o conceito de linearidade em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela é uma equação fundamental na mecânica quântica que descreve como o estado quântico de um sistema muda ao longo do tempo. A forma geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é:
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia potencial.
Passo 3
Agora, o que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear? Em matemática, uma equação linear tem a propriedade de que a soma de duas soluções também é uma solução, e multiplicar uma solução por uma constante também é uma solução. Ou seja, se e são soluções, então qualquer combinação também será solução, onde e são constantes.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos três soluções da equação de Schrödinger: , e . Queremos mostrar que uma combinação linear dessas soluções, dada por:
também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a mesma energia potencial .
Passo 5
Para provar isso, vamos substituir na equação de Schrödinger e verificar se a igualdade se mantém. Ou seja, devemos verificar se:
Agora, substituindo :
Passo 6
Como as constantes , e não dependem de nem de , podemos trazê-las para fora das derivadas:
Passo 7
Mas sabemos que cada (onde ) é uma solução da equação de Schrödinger para . Isso significa que para cada :
Portanto, substituindo de volta, vemos que os dois lados da equação se igualam:
Isso confirma que satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 8
Agora, vamos falar sobre o que essa combinação linear significa fisicamente. Em mecânica quântica, a função de onda contém todas as informações sobre o sistema. Quando combinamos diferentes funções de onda, estamos essencialmente descrevendo um superposição quântica. Isso significa que o sistema pode estar em múltiplos estados simultaneamente, e as amplitudes , e determinam a probabilidade de encontrar o sistema em cada um desses estados quando fazemos uma medição.
Resposta
Portanto, mostramos que uma combinação linear arbitrária das soluções , e também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a energia potencial . Fisicamente, essa combinação representa uma superposição quântica, onde o sistema pode existir simultaneamente em múltiplos estados com amplitudes determinadas pelos coeficientes , e .