Se as funções de onda
e
são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular
, mostre que a combinação linear arbitrária
também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos três soluções diferentes da equação de Schrödinger para uma certa energia potencial
, podemos combinar essas soluções de forma arbitrária e ainda obter outra solução válida. Além disso, precisamos explicar o que essa combinação linear representa fisicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e o conceito de linearidade em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela é uma equação fundamental na mecânica quântica que descreve como o estado quântico de um sistema muda ao longo do tempo. A forma geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a energia potencial.
Passo 3
Agora, o que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear? Em matemática, uma equação linear tem a propriedade de que a soma de duas soluções também é uma solução, e multiplicar uma solução por uma constante também é uma solução. Ou seja, se
e
são soluções, então qualquer combinação
também será solução, onde
e
são constantes.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos três soluções da equação de Schrödinger:
,
e
. Queremos mostrar que uma combinação linear dessas soluções, dada por:
também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a mesma energia potencial
.
Passo 5
Para provar isso, vamos substituir
na equação de Schrödinger e verificar se a igualdade se mantém. Ou seja, devemos verificar se:
Agora, substituindo
:
Passo 6
Como as constantes
,
e
não dependem de
nem de
, podemos trazê-las para fora das derivadas:
Passo 7
Mas sabemos que cada
(onde
) é uma solução da equação de Schrödinger para
. Isso significa que para cada
:
Portanto, substituindo de volta, vemos que os dois lados da equação se igualam:
Isso confirma que
satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 8
Agora, vamos falar sobre o que essa combinação linear significa fisicamente. Em mecânica quântica, a função de onda
contém todas as informações sobre o sistema. Quando combinamos diferentes funções de onda, estamos essencialmente descrevendo um superposição quântica. Isso significa que o sistema pode estar em múltiplos estados simultaneamente, e as amplitudes
,
e
determinam a probabilidade de encontrar o sistema em cada um desses estados quando fazemos uma medição.
Resposta
Portanto, mostramos que uma combinação linear arbitrária das soluções
,
e
também é uma solução válida da equação de Schrödinger para a energia potencial
. Fisicamente, essa combinação representa uma superposição quântica, onde o sistema pode existir simultaneamente em múltiplos estados com amplitudes determinadas pelos coeficientes
,
e
.