Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;
Passo 1
Vamos demonstrar, usando indução matemática, que a soma dos primeiros
números naturais ao quadrado é igual à soma dos cubos desses números:
Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso mais simples, quando
.
Como os dois lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a hipótese de indução for verdadeira para
, então ela também será verdadeira para
. Vamos calcular:
Passo 5
Podemos reescrever a expressão da soma como:
Então, ao quadrado, fica:
Passo 6
Vamos expandir o quadrado:
Passo 7
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo na expressão, temos:
Passo 8
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 9
Portanto, temos:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Como a igualdade é verdadeira para
e, assumindo que é verdadeira para
, mostramos que também é verdadeira para
pela indução matemática. Assim, a igualdade é válida para todo número natural
.
Exercícios relacionados
Para todo
, seja
Prove por indução em que:
Prove por indução em
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Seja
função sucessor que satisfaz:
P1) é injetiva.
P2) .
Prove que: Se tal que
e
. Então para todo subconjunto não-vazio
, tem-se
.
Sugestão: Suponha ao contrário e verifique que: e
para assim concluir
.
P1)
P2)
Prove que: Se
Sugestão: Suponha ao contrário e verifique que:
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, e
.