Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(1+2+3+ldots+n)^2=1^3+2^3+ldots+n^3;

Passo 1

Vamos demonstrar, usando indução matemática, que a soma dos primeiros (1 + 2 + 3 + ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + ldots + n^3 números naturais ao quadrado é igual à soma dos cubos desses números:
Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso mais simples, quando (1)^2 = 1 = 1^3 .
Como os dois lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número (1 + 2 + 3 + ldots + k)^2 = 1^3 + 2^3 + ldots + k^3 . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a hipótese de indução for verdadeira para (1 + 2 + 3 + ldots + k + (k+1))^2 , então ela também será verdadeira para . Vamos calcular:

Passo 5

Podemos reescrever a expressão da soma como:
(1 + 2 + 3 + ldots + k) + (k + 1)
Então, ao quadrado, fica:
[ (1 + 2 + 3 + ldots + k) + (k + 1) ]^2

Passo 6

Vamos expandir o quadrado:
( sumi=1^k i )^2 + 2(k+1)( sumi=1^k i ) + (k+1)^2

Passo 7

Pela hipótese de indução, sabemos que:
( sumi=1^k i )^2 = sumi=1^k i^3
Substituindo na expressão, temos:
sumi=1^k i^3 + 2(k+1)( sumi=1^k i ) + (k+1)^2

Passo 8

Sabemos que a soma dos primeiros sumi=1^k i = k(k+1)2 números naturais é:
sumi=1^k i^3 + 2(k+1)( k(k+1)2 ) + (k+1)^2
Substituindo na expressão:
sumi=1^k i^3 + k(k+1)^2 + (k+1)^2
Simplificando:
= sumi=1^k i^3 + (k+1)^3

Passo 9

Portanto, temos:
(1 + 2 + 3 + ldots + (k + 1))^2 = sumi=1^k+1 i^3
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Como a igualdade é verdadeira para e, assumindo que é verdadeira para , mostramos que também é verdadeira para pela indução matemática. Assim, a igualdade é válida para todo número natural .

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Para todo n in N, seja Hn=1+12+13+ldots+1n
Prove por indução em n que:
n+H1+ldots+Hn-1=n Hn ; forall n >= 2
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
sumi=n^3 n-2 1i>1 ; forall n >= 2.
Seja s: N N função sucessor que satisfaz:
P1) s: N N é injetiva.
P2) N-s(N)=1.
Prove que: Se X subseteq N tal que 1 in X e s(n) in X, forall n in X Rightarrow X=N. Então para todo subconjunto não-vazio A subseteq N, tem-se A-s(A) neq emptyset.
Sugestão: Suponha ao contrário e verifique que: 1 in A^c e s(n) in A^c para assim concluir A^c=N.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
a^n>1+n(a-1) ; forall n >= 2, e a>1.