Para todo n in N, seja Hn=1+12+13+ldots+1n
Prove por indução em n que:
n+H1+ldots+Hn-1=n Hn ; forall n >= 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar, para todo número natural n + H1 + H2 + ldots + Hn-1 = n Hn , que:
Hn = 1 + 12 + 13 + ldots + 1n
Aqui, é o número harmônico, definido como:
Para provar isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para H1 = 1 .
Calculando cada parte:
2 + H1 = 2 + 1 = 3
Então:
2 H2 = 2 (1 + 12) = 2 times 32 = 3
E:
Como , a base da indução é válida.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum número natural k + H1 + H2 + ldots + Hk-1 = k Hk . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a fórmula também é válida para .

Passo 4

Passo indutivo: Vamos provar que:
(k + 1) + H1 + H2 + ldots + Hk = (k + 1) Hk+1
Começamos adicionando k + H1 + H2 + ldots + Hk-1 + Hk = k Hk + Hk aos dois lados da hipótese de indução:
k Hk + Hk = (k + 1) Hk
Fatorando Hk+1 = Hk + 1k+1 do lado direito:
(k + 1) Hk+1 = (k + 1) ( Hk + 1k+1 ) = (k + 1) Hk + 1
Agora, observamos que queremos chegar a k + H1 + H2 + ldots + Hk = (k + 1) Hk . Sabemos que:
(k + 1) + H1 + H2 + ldots + Hk = (k + 1) Hk + 1 = (k + 1) Hk+1
Substituindo na expressão:
Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Portanto, a fórmula é válida para .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo n + H1 + H2 + ldots + Hn-1 = n Hn :

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