Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar, usando um método chamado indução matemática, que a soma dos inversos dos números de
até
é sempre maior que 1, para qualquer
que seja 2 ou maior. Basicamente, a gente vai mostrar que essa propriedade é verdadeira começando por
e depois mostrar que, se for verdadeira para um número qualquer, também será para o próximo.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base, ou seja, quando
. Isso ajuda a gente a ter certeza de que a nossa afirmação funciona pelo menos para o primeiro valor válido.
Calculando a soma:
Vamos somar esses valores:
Somando tudo:
Como
, o caso base está confirmado!
Passo 3
Agora, vamos para a hipótese de indução. A ideia aqui é assumir que a afirmação é verdadeira para algum número
que seja maior ou igual a 2. Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é crucial porque, depois, usaremos essa suposição para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Chegou a hora de provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular a soma para
:
Podemos reescrever essa soma dividindo-a em duas partes:
No entanto, para simplificar, vamos observar que adicionar mais termos positivos (como
,
, e
) aumenta a soma, enquanto remover
diminui um pouco. Mas, como a nossa hipótese de indução já garante que a soma original é maior que 1, mesmo com essa pequena subtração, a nova soma ainda ficará acima de 1.
Para ser mais preciso, podemos notar que:
E, considerando que estamos adicionando mais termos positivos, a soma total continuará sendo maior que 1.
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, mostramos que:
- Caso base: Para
, a soma é maior que 1. - Passo de indução: Se para
a soma é maior que 1, então para também é maior que 1.
Portanto, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
Concluímos que, para todo
, a soma
é sempre maior que 1.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
. Mostre que:
.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, seja quais forem
;
Para todo
, seja
Prove por indução em que:
Prove por indução em
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;