Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
sumi=n^3 n-2 1i>1 ; forall n >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar, usando um método chamado indução matemática, que a soma dos inversos dos números de até é sempre maior que 1, para qualquer que seja 2 ou maior. Basicamente, a gente vai mostrar que essa propriedade é verdadeira começando por e depois mostrar que, se for verdadeira para um número qualquer, também será para o próximo.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base, ou seja, quando sumi=2^3(2)-2 1i = sumi=2^4 1i = 12 + 13 + 14 . Isso ajuda a gente a ter certeza de que a nossa afirmação funciona pelo menos para o primeiro valor válido.
Calculando a soma:
12 = 0,5 13 approx 0,333 14 = 0,25
Vamos somar esses valores:
0,5 + 0,333 + 0,25 approx 1,083
Somando tudo:
Como , o caso base está confirmado!

Passo 3

Agora, vamos para a hipótese de indução. A ideia aqui é assumir que a afirmação é verdadeira para algum número sumi=k^3k-2 1i > 1 que seja maior ou igual a 2. Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é crucial porque, depois, usaremos essa suposição para provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Chegou a hora de provar que, se a afirmação é verdadeira para sumi=k+1^3(k+1)-2 1i = sumi=k+1^3k+1 1i , então ela também é verdadeira para sumi=k^3k-2 1i + sumi=3k-1^3k+1 1i - 1k . Vamos calcular a soma para sumi=k+1^3k+1 1i > sumi=k+1^3k-2 1i :
Podemos reescrever essa soma dividindo-a em duas partes:
No entanto, para simplificar, vamos observar que adicionar mais termos positivos (como , , e ) aumenta a soma, enquanto remover diminui um pouco. Mas, como a nossa hipótese de indução já garante que a soma original é maior que 1, mesmo com essa pequena subtração, a nova soma ainda ficará acima de 1.
Para ser mais preciso, podemos notar que:
E, considerando que estamos adicionando mais termos positivos, a soma total continuará sendo maior que 1.

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, mostramos que:
  1. Caso base: Para , a soma é maior que 1.
  2. Passo de indução: Se para a soma é maior que 1, então para também é maior que 1.
Portanto, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

Concluímos que, para todo , a soma é sempre maior que 1.

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Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(a-1)(1+a+ldots +a^n)=a^n+1-1, seja quais forem a, n in N;
Para todo n in N, seja Hn=1+12+13+ldots+1n
Prove por indução em n que:
n+H1+ldots+Hn-1=n Hn ; forall n >= 2
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(1+2+3+ldots+n)^2=1^3+2^3+ldots+n^3;