Use integrais múltiplas para calcular a área delimitada pela elipse
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
onde a > b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma elipse definida pela equação , onde . Para isso, vamos usar integrais múltiplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular áreas e volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse: . Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, onde é o semi-eixo maior (horizontal) e é o semi-eixo menor (vertical).

Passo 3

Para calcular a área da elipse, podemos usar uma integral dupla sobre a região delimitada por essa equação. Em coordenadas cartesianas, a área pode ser expressa como:
Aqui, para cada valor de entre e , calculamos a extensão de que satisfaz a equação da elipse.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, observe que a elipse é simétrica em relação aos eixos e . Isso significa que podemos calcular a área em um quarto da elipse e depois multiplicar por 4:

Passo 5

Integrando em relação a :

Passo 6

Fazendo uma substituição para simplificar a integral, vamos usar , onde varia de a . Então, , e .
Substituindo na integral:

Passo 7

Sabemos que . Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área delimitada pela elipse é igual a .

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