Use integrais múltiplas para calcular a área delimitada pela elipse
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma elipse definida pela equação
, onde
. Para isso, vamos usar integrais múltiplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular áreas e volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse:
. Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, onde
é o semi-eixo maior (horizontal) e
é o semi-eixo menor (vertical).
Passo 3
Para calcular a área da elipse, podemos usar uma integral dupla sobre a região delimitada por essa equação. Em coordenadas cartesianas, a área
pode ser expressa como:
Aqui, para cada valor de
entre
e
, calculamos a extensão de
que satisfaz a equação da elipse.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, observe que a elipse é simétrica em relação aos eixos
e
. Isso significa que podemos calcular a área em um quarto da elipse e depois multiplicar por 4:
Passo 5
Integrando em relação a
:
Passo 6
Fazendo uma substituição para simplificar a integral, vamos usar
, onde
varia de
a
. Então,
, e
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Sabemos que
. Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área delimitada pela elipse é igual a
.