Use as matrizes A=[ll3 & 1 5 & 2] e B=[rr2 & -3 4 & 4] para mostrar que (A B)^-1=B^-1 A^-1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a inversa da multiplicação de duas matrizes, (A B)^-1, é igual à multiplicação das inversas das matrizes na ordem inversa, ou seja, B^-1 A^-1. Para isso, vamos utilizar os conceitos de multiplicação de matrizes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A e B. As matrizes são:
A = 3 & 1 5 & 2 , B = 2 & -3 4 & 4
A multiplicação de duas matrizes A e B é feita multiplicando as linhas de A pelas colunas de B:
A B = (3 times 2) + (1 times 4) & (3 times -3) + (1 times 4) (5 times 2) + (2 times 4) & (5 times -3) + (2 times 4) = 6 + 4 & -9 + 4 10 + 8 & -15 + 8 = 10 & -5 18 & -7

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A B. Para uma matriz M = a & b c & d , a inversa é dada por:
M^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Calculando o determinante de A B:
det(A B) = (10)(-7) - ( -5)(18) = -70 + 90 = 20
Então, a inversa de A B é:
(A B)^-1 = 120 -7 & 5 -18 & 10 = -720 & 14 -910 & 12

Passo 4

Vamos agora encontrar as inversas das matrizes A e B separadamente.
Para a matriz A:
det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1
A^-1 = 11 2 & -1 -5 & 3 = 2 & -1 -5 & 3
Para a matriz B:
det(B) = (2)(4) - (-3)(4) = 8 + 12 = 20
B^-1 = 120 4 & 3 -4 & 2 = 15 & 320 -15 & 110

Passo 5

Agora, vamos multiplicar B^-1 por A^-1:
B^-1 A^-1 = 15 & 320 -15 & 110 2 & -1 -5 & 3
Calculando a multiplicação:
B^-1 A^-1 = (15 times 2) + (320 times -5) & (15 times -1) + (320 times 3) (-15 times 2) + (110 times -5) & (-15 times -1) + (110 times 3)
Simplificando:
B^-1 A^-1 = 25 - 1520 & -15 + 920 -25 - 510 & 15 + 310 = -720 & 14 -910 & 12

Resposta

Concluímos que (A B)^-1 = B^-1 A^-1, pois ambas as matrizes resultantes são iguais a:
-720 & 14 -910 & 12

Exercícios relacionados