Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os cofatores da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e cofatores. Vamos precisar calcular os menores de cada elemento da matriz e aplicar os sinais alternados para obter os cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cofator de um elemento Cij = (-1)^i+j cdot Mij da matriz é dado por:
Onde é o determinante do menor obtido ao eliminar a -ésima linha e a -ésima coluna da matriz.
Passo 3
Vamos começar calculando o cofator para o elemento da primeira linha e primeira coluna ( 7 & -1 1 & 4 ):
Menor M11 = (7)(4) - (-1)(1) = 28 + 1 = 29 : Eliminamos a primeira linha e primeira coluna:
C11 = (-1)^1+1 cdot 29 = 1 cdot 29 = 29
Determinante de :
Cofator :
Passo 4
Agora, vamos para o elemento da primeira linha e segunda coluna ( 6 & -1 -3 & 4 ):
Menor M12 = (6)(4) - (-1)(-3) = 24 - 3 = 21 : Eliminamos a primeira linha e segunda coluna:
C12 = (-1)^1+2 cdot 21 = -1 cdot 21 = -21
Determinante de :
Cofator :
Passo 5
Vamos para o elemento da primeira linha e terceira coluna ( 6 & 7 -3 & 1 ):
Menor M13 = (6)(1) - (7)(-3) = 6 + 21 = 27 : Eliminamos a primeira linha e terceira coluna:
C13 = (-1)^1+3 cdot 27 = 1 cdot 27 = 27
Determinante de :
Cofator :
Passo 6
Agora, vamos para a segunda linha. Começando pelo elemento da segunda linha e primeira coluna ( -2 & 3 1 & 4 ):
Menor M21 = (-2)(4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11 : Eliminamos a segunda linha e primeira coluna:
C21 = (-1)^2+1 cdot (-11) = -1 cdot (-11) = 11
Determinante de :
Cofator :
Passo 7
Elemento da segunda linha e segunda coluna ( 1 & 3 -3 & 4 ):
Menor M22 = (1)(4) - (3)(-3) = 4 + 9 = 13 : Eliminamos a segunda linha e segunda coluna:
C22 = (-1)^2+2 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13
Determinante de :
Cofator :
Passo 8
Elemento da segunda linha e terceira coluna ( 1 & -2 -3 & 1 ):
Menor M23 = (1)(1) - (-2)(-3) = 1 - 6 = -5 : Eliminamos a segunda linha e terceira coluna:
C23 = (-1)^2+3 cdot (-5) = -1 cdot (-5) = 5
Determinante de :
Cofator :
Passo 9
Agora, terceira linha. Começando pelo elemento da terceira linha e primeira coluna ( -2 & 3 7 & -1 ):
Menor M31 = (-2)(-1) - (3)(7) = 2 - 21 = -19 : Eliminamos a terceira linha e primeira coluna:
C31 = (-1)^3+1 cdot (-19) = 1 cdot (-19) = -19
Determinante de :
Cofator :
Passo 10
Elemento da terceira linha e segunda coluna ( 1 & 3 6 & -1 ):
Menor M32 = (1)(-1) - (3)(6) = -1 - 18 = -19 : Eliminamos a terceira linha e segunda coluna:
C32 = (-1)^3+2 cdot (-19) = -1 cdot (-19) = 19
Determinante de :
Cofator :
Passo 11
Por fim, elemento da terceira linha e terceira coluna ( 1 & -2 6 & 7 ):
Menor M33 = (1)(7) - (-2)(6) = 7 + 12 = 19 : Eliminamos a terceira linha e terceira coluna: