Resolva o sistema dado, em que a, b e c são constantes.
x+y+z & =a 2 x+2 z & =b 3 y+3 z & =c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema com três equações e três incógnitas: x + y + z = a 2x + 2z = b 3y + 3z = c , e . As equações são:
Para resolver isso, vamos usar o método de substituição e eliminação, que são técnicas básicas da álgebra para resolver sistemas lineares. Vamos precisar isolar uma variável e substituir nas outras equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as segunda e terceira equações para facilitar nosso trabalho. Na segunda equação:
2x + 2z = b
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
x + z = b2
Agora, temos uma relação mais simples entre x + z = b2 (2') e . Vamos chamar essa equação de (2’):

Passo 3

Da mesma forma, vamos simplificar a terceira equação:
3y + 3z = c
Dividindo todos os termos por 3:
y + z = c3
Vamos chamar essa equação de (3’):
y + z = c3 (3')

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira equação original:
x + y + z = a
Queremos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar x = a - y - z :
x = a - y - z (1')
Vamos chamar essa equação de (1’):

Passo 5

Agora, vamos usar a equação (2’) que encontramos:
x + z = b2
Substituímos (a - y - z) + z = b2 pela expressão da equação (1’):
a - y = b2
Simplificando:
y = a - b2
Isolando :

Passo 6

Agora que temos y + z = c3 em termos de (a - b2) + z = c3 e z = c3 - a + b2 , vamos usar a equação (3’):
z = b2 - a + c3
Substituímos pela expressão que encontramos:
Isolando :
Podemos escrever isso como:

Passo 7

Agora que temos x = a - y - z e x = a - (a - b2) - (b2 - a + c3) , vamos encontrar x = a - a + b2 - b2 + a - c3 usando a equação (1’):
x = a - c3
Substituímos e :
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = a - c3, y = a - b2, z = b2 - a + c3

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