Use a mesma estratégia do exercício anterior para mostrar que se x > 0 então
ln(x+1) < 1 + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que, para todo número , a desigualdade é verdadeira. Isso está relacionado com o estudo de funções logarítmicas e propriedades das desigualdades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para analisar o comportamento da função envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da desigualdade que queremos provar. Vamos chamar essa função de :
Nosso objetivo é mostrar que para todo , o que confirmaria que .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de calculando a sua derivada. A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo:

Passo 4

Simplificando a derivada:
Como e , temos que . Isso significa que a função está sempre aumentando para .

Passo 5

Vamos verificar o valor da função em :
Então, .

Passo 6

Como a derivada para todo e , podemos concluir que é uma função crescente que começa em quando . Portanto, para todo , .

Resposta

Assim, mostramos que para todo , .

Exercícios relacionados