Use a mesma estratégia do exercício anterior para mostrar que se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que, para todo número
, a desigualdade
é verdadeira. Isso está relacionado com o estudo de funções logarítmicas e propriedades das desigualdades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para analisar o comportamento da função envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da desigualdade que queremos provar. Vamos chamar essa função de
:
Nosso objetivo é mostrar que
para todo
, o que confirmaria que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
calculando a sua derivada. A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo:
Passo 4
Simplificando a derivada:
Como
e
, temos que
. Isso significa que a função
está sempre aumentando para
.
Passo 5
Vamos verificar o valor da função
em
:
Então,
.
Passo 6
Como a derivada
para todo
e
, podemos concluir que
é uma função crescente que começa em
quando
. Portanto, para todo
,
.
Resposta
Assim, mostramos que para todo
,
.