Suponha que a derivada da função
seja
Em qual intervalo
está crescendo? E descrescendo?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos a derivada da função
, que é
. O objetivo é descobrir em quais intervalos a função
está crescendo e em quais está decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente analisando o sinal da derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que se a derivada
for positiva em um intervalo, a função
está crescente nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está decrescente. Então, nossa missão é descobrir onde
é positiva ou negativa.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não está definida. No nosso caso:
Para que
, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando os pontos críticos encontrados:
Agora, vamos determinar o sinal de
em cada um desses intervalos.
Passo 5
Para cada intervalo, escolhemos um valor de
(chamado de número teste) e substituímos na derivada para ver se o resultado é positivo ou negativo.
-
Intervalo
: - Escolha:
- Cálculo:
- Simplificando os sinais:
-
-
(pois a potência é ímpar e mantém o sinal) -
-
- Resultado:
(negativo)
- Escolha:
-
Intervalo
: - Escolha:
- Cálculo:
- Simplificando os sinais:
-
- Resultado:
(negativo)
- Escolha:
-
Intervalo
: - Escolha:
- Cálculo:
- Simplificando os sinais:
-
- Resultado:
(positivo)
- Escolha:
-
Intervalo
: - Escolha:
- Cálculo:
- Simplificando os sinais:
-
- Resultado:
(positivo)
- Escolha:
Resposta
A função
está decrescente nos intervalos
e
, e crescente nos intervalos
e
.