Suponha que a derivada da função f seja
f'(x) = (x+1)^(2) * (x-3)^(5) * (x-6)^(4)
Em qual intervalo f está crescendo? E descrescendo?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos a derivada da função , que é . O objetivo é descobrir em quais intervalos a função está crescendo e em quais está decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente analisando o sinal da derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescente nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está decrescente. Então, nossa missão é descobrir onde é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não está definida. No nosso caso:
Para que , pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando os pontos críticos encontrados:
Agora, vamos determinar o sinal de em cada um desses intervalos.

Passo 5

Para cada intervalo, escolhemos um valor de (chamado de número teste) e substituímos na derivada para ver se o resultado é positivo ou negativo.
  1. Intervalo :
    • Escolha:
    • Cálculo:
    • Simplificando os sinais:
      • (pois a potência é ímpar e mantém o sinal)
    • Resultado: (negativo)
  2. Intervalo :
    • Escolha:
    • Cálculo:
    • Simplificando os sinais:
    • Resultado: (negativo)
  3. Intervalo :
    • Escolha:
    • Cálculo:
    • Simplificando os sinais:
    • Resultado: (positivo)
  4. Intervalo :
    • Escolha:
    • Cálculo:
    • Simplificando os sinais:
    • Resultado: (positivo)

Resposta

A função está decrescente nos intervalos e , e crescente nos intervalos e .

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