Use a mesma estratégia do exercício anterior para mostrar que se x > 0 então
e^x > 1 + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se , então . Isso está relacionado ao estudo de funções exponenciais e suas propriedades, especificamente usando a série de Taylor ou a derivada para analisar o comportamento da função . Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função . Nosso objetivo é mostrar que para todo . Isso significa que a função exponencial cresce mais rápido que a função linear quando é positivo.

Passo 3

Vamos analisar o valor de em :
Então, em , as duas funções são iguais.

Passo 4

Agora, vamos ver como se comporta para olhando para a derivada de . A derivada de é:
A derivada nos diz a taxa de variação de . Se , a função está crescendo.

Passo 5

Vamos analisar para :
  • Sabemos que para qualquer .
  • Portanto, quando .

Passo 6

Como para , isso significa que está aumentando nesse intervalo. E já vimos que em , . Então, para , será maior que zero.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , .

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