Use a mesma estratégia do exercício anterior para mostrar que se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se
, então
. Isso está relacionado ao estudo de funções exponenciais e suas propriedades, especificamente usando a série de Taylor ou a derivada para analisar o comportamento da função
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função
. Nosso objetivo é mostrar que
para todo
. Isso significa que a função exponencial cresce mais rápido que a função linear
quando
é positivo.
Passo 3
Vamos analisar o valor de
em
:
Então, em
, as duas funções são iguais.
Passo 4
Agora, vamos ver como
se comporta para
olhando para a derivada de
. A derivada de
é:
A derivada nos diz a taxa de variação de
. Se
, a função está crescendo.
Passo 5
Vamos analisar
para
:
- Sabemos que
para qualquer . - Portanto,
quando .
Passo 6
Como
para
, isso significa que
está aumentando nesse intervalo. E já vimos que em
,
. Então, para
,
será maior que zero.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
,
.