Use o PIF para provar que, para todo n > 0 par, 2^n - 1 é múltiplo de 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai usar o Princípio da Indução Matemática (PIF) para provar que, para todo número par , a expressão é múltiplo de 3. Basicamente, vamos mostrar que isso vale para o primeiro caso e que, se vale para um número qualquer, também vale para o próximo número par.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir o caso base, que é o menor número par maior que 0. Então, vamos testar com :
Como 3 é múltiplo de 3 (porque ), o caso base está certo!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um número par qualquer k. Ou seja, vamos supor que:
éú
Isso significa que existe um número inteiro m tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação vale para k, ela também vale para o próximo número par, que é . Vamos calcular:
Agora, substituímos pela expressão da hipótese de indução:
Como é claramente múltiplo de 3, isso prova que se a afirmação vale para k, ela também vale para .

Resposta

Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, mostramos que para todo número par , é múltiplo de 3.

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