Use o PIF para provar que, para todo
par,
é múltiplo de 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai usar o Princípio da Indução Matemática (PIF) para provar que, para todo número par
, a expressão
é múltiplo de 3. Basicamente, vamos mostrar que isso vale para o primeiro caso e que, se vale para um número qualquer, também vale para o próximo número par.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir o caso base, que é o menor número par maior que 0. Então, vamos testar com
:
Como 3 é múltiplo de 3 (porque
), o caso base está certo!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um número par qualquer
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação vale para
, ela também vale para o próximo número par, que é
. Vamos calcular:
Agora, substituímos
pela expressão da hipótese de indução:
Como
é claramente múltiplo de 3, isso prova que se a afirmação vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, mostramos que para todo número par
,
é múltiplo de 3.