Use o PIF para provar que, para todo
par,
é múltiplo de 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai usar o Princípio da Indução Matemática (PIF) para provar que, para todo número par
, a expressão
é múltiplo de 3. Basicamente, vamos mostrar que isso vale para o primeiro caso e que, se vale para um número qualquer, também vale para o próximo número par.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir o caso base, que é o menor número par maior que 0. Então, vamos testar com
:
Como 3 é múltiplo de 3 (porque
), o caso base está certo!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um número par qualquer
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação vale para
, ela também vale para o próximo número par, que é
. Vamos calcular:
Agora, substituímos
pela expressão da hipótese de indução:
Como
é claramente múltiplo de 3, isso prova que se a afirmação vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, mostramos que para todo número par
,
é múltiplo de 3.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.312ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.506ex” height=“1.819ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2433.6 804”><title>n ≥ 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45B” d=“M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(877.8,0)”><path data-c=“2265” d=“M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1933.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, temos</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.172ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“65.089ex” height=“5.475ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1460 28769.3 2420”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1442.4,676)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(220,-686)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 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