Resolva as seguintes inequações em R :
x + 2 ≥ |x² - 4| / (x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte inequação:
Aqui, estamos lidando com inequações envolvendo valor absoluto e frações. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e considerar os diferentes casos que surgem devido a isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por |a|, é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo positivo ou zero. Ou seja:
No nosso caso, temos . Vamos analisar quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos resolver a equação dentro do valor absoluto para encontrar os pontos onde ela muda de sinal:
Então, os pontos críticos são e x = 2. Vamos dividir o nosso estudo em dois casos com base nesses pontos.

Passo 4

Caso 1: ou x ≥ 2
Nessa faixa, , então o valor absoluto pode ser removido sem alterar o sinal:
Nossa inequação fica:

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados da inequação por . Mas atenção! O sinal da inequação pode mudar dependendo do sinal de . Então, precisamos considerar:
  • Se
  • Se
Subcaso 1.1:
Dentro do nosso caso atual ( ou x ≥ 2), isso só afeta x ≥ 2.
Multiplicando ambos os lados por (positivo):
Expandindo:
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
Mas lembrando que neste subcaso estamos considerando x ≥ 2. Portanto, a solução aqui é x ≥ 2.
Subcaso 1.2:
Dentro do nosso caso atual ( ou x ≥ 2), isso só afeta .
Multiplicando ambos os lados por (negativo), lembrando que o sinal da inequação inverte:
Expandindo:
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
Aqui, a solução é , que já está dentro da nossa faixa de estudo.

Passo 6

Caso 2:
Nessa faixa, , então o valor absoluto muda o sinal:
Nossa inequação fica:

Passo 7

Vamos novamente multiplicar ambos os lados por , considerando o sinal de .
Dentro deste caso ( ), pode ser positivo ou negativo:
  • Se
  • Se
Subcaso 2.1:
Multiplicando ambos os lados por (positivo):
Expandindo:
Levantando x^2 para o lado esquerdo:
Vamos resolver a equação para encontrar os pontos críticos:
Então, ou
Analisando o sinal da inequação , percebemos que é positiva fora dos intervalos entre as raízes:
No nosso subcaso, , então a solução é .
Subcaso 2.2:
Multiplicando ambos os lados por (negativo), lembrando que o sinal da inequação inverte:
Expandindo:
Levantando x^2 para o lado esquerdo:
Resolvendo , temos as mesmas raízes: e .
Analisando o sinal da inequação , percebemos que é negativa entre as raízes:
No nosso subcaso, , então a solução é .

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as soluções dos dois casos:
  • Caso 1: ou x ≥ 2
  • Caso 2:
    • Subcaso 2.1:
    • Subcaso 2.2:
Então, combinando tudo:

Resposta

A solução da inequação é:

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