O conjunto
tem supremo e/ou ínfimo? Justifique sua resposta e determine-os, caso existam.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o conjunto
possui supremo e/ou ínfimo. Para isso, vamos utilizar conceitos de desigualdades envolvendo valores absolutos e propriedades de limites superiores e inferiores em conjuntos de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade
. Para lidar com os valores absolutos, precisamos considerar diferentes casos baseados nos valores de
:
Passo 3
Caso 1:
Aqui,
e
. Substituindo na desigualdade:
No entanto, estamos considerando
, então não há soluções neste intervalo.
Passo 4
Caso 2:
Neste intervalo,
e
. Substituindo na desigualdade:
Como
e
, a solução neste caso é
.
Passo 5
Caso 3:
Aqui,
e
. Substituindo na desigualdade:
Como estamos considerando
, a condição
é sempre verdadeira. Portanto, todo
satisfaz a desigualdade.
Passo 6
Combinando os resultados dos três casos, o conjunto
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o supremo e o ínfimo de
:
-
Ínfimo: O menor valor de
é um valor que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Como , o ínfimo é , mas não está incluído em . Portanto, o ínfimo é . -
Supremo: O supremo é o menor limite superior do conjunto. Como
inclui todos os e não há um maior valor específico, o supremo é .
Resposta
O conjunto possui ínfimo igual a
e não possui supremo, já que é ilimitado acima.