O conjunto {x em R: |x-1| - |x-2| > -x} tem supremo e/ou ínfimo? Justifique sua resposta e determine-os, caso existam.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o conjunto possui supremo e/ou ínfimo. Para isso, vamos utilizar conceitos de desigualdades envolvendo valores absolutos e propriedades de limites superiores e inferiores em conjuntos de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade . Para lidar com os valores absolutos, precisamos considerar diferentes casos baseados nos valores de :

Passo 3

Caso 1:
Aqui, e . Substituindo na desigualdade:
No entanto, estamos considerando , então não há soluções neste intervalo.

Passo 4

Caso 2:
Neste intervalo, e . Substituindo na desigualdade:
Como e , a solução neste caso é .

Passo 5

Caso 3:
Aqui, e . Substituindo na desigualdade:
Como estamos considerando , a condição é sempre verdadeira. Portanto, todo satisfaz a desigualdade.

Passo 6

Combinando os resultados dos três casos, o conjunto é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o supremo e o ínfimo de :
  • Ínfimo: O menor valor de é um valor que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Como , o ínfimo é , mas não está incluído em . Portanto, o ínfimo é .
  • Supremo: O supremo é o menor limite superior do conjunto. Como inclui todos os e não há um maior valor específico, o supremo é .

Resposta

O conjunto possui ínfimo igual a e não possui supremo, já que é ilimitado acima.

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