Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e © de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)
8. integral0^2 11+x^6 d x, n=8

Passo 1

Resumo da Questão: Precisamos calcular a integral de utilizando três métodos de aproximação numérica: a Regra do Trapézio, a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson. Vamos dividir o intervalo em subintervalos. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas regras e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Dividindo o Intervalo: Primeiro, calculamos o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h = b - an = 2 - 08 = 0.25 . A fórmula é:
Então, cada subintervalo tem comprimento .

Passo 3

Regra do Trapézio: Essa regra aproxima a área sob a curva usando trapézios em vez de retângulos. A fórmula para a Regra do Trapézio com Trapézio = h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ] subintervalos é:
é
Vamos calcular cada termo necessário.

Passo 4

Calculando os Pontos e as Funções:
Dividindo x0 = 0.00, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1.00, x5 = 1.25, x6 = 1.50, x7 = 1.75, x8 = 2.00 em 8 subintervalos, temos os seguintes pontos f(x0) &= 11 + 0^6 = 1.000000 f(x1) &= 11 + 0.25^6 approx 0.999756 f(x2) &= 11 + 0.5^6 = 11 + 0.015625 approx 0.984375 f(x3) &= 11 + 0.75^6 approx 0.849807 f(x4) &= 11 + 1^6 = 0.500000 f(x5) &= 11 + 1.25^6 approx 0.207874 f(x6) &= 11 + 1.5^6 approx 0.080000 f(x7) &= 11 + 1.75^6 approx 0.027009 f(x8) &= 11 + 2^6 = 165 approx 0.015625 :
Calculamos para cada :

Passo 5

Aplicando a Regra do Trapézio:
Usando a fórmula:
Trapézio &= 0.252 [f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + dots + f(x7)) + f(x8)] &= 0.125 [1.000000 + 2(0.999756 + 0.984375 + 0.849807 + 0.500000 + 0.207874 + 0.080000 + 0.027009) + 0.015625] &= 0.125 [1.000000 + 2(3.648015) + 0.015625] &= 0.125 [1.000000 + 7.296030 + 0.015625] &= 0.125 times 8.311655 &approx 1.038957 é

Passo 6

Regra do Ponto Médio: Essa regra usa o valor da função no meio de cada subintervalo para aproximar a área. A fórmula é:
Ponto Médio = h sumi=1^n f( xi-1 + xi2 ) é
Vamos calcular os pontos médios e avaliar nesses pontos.

Passo 7

Calculando os Pontos Médios e as Funções:
Os pontos médios são:
m1 &= 0.00 + 0.252 = 0.125 m2 &= 0.25 + 0.502 = 0.375 m3 &= 0.50 + 0.752 = 0.625 m4 &= 0.75 + 1.002 = 0.875 m5 &= 1.00 + 1.252 = 1.125 m6 &= 1.25 + 1.502 = 1.375 m7 &= 1.50 + 1.752 = 1.625 m8 &= 1.75 + 2.002 = 1.875
Calculando f(0.125) &approx 0.999756 f(0.375) &approx 0.849807 f(0.625) &approx 0.800000 f(0.875) &approx 0.693518 f(1.125) &approx 0.242424 f(1.375) &approx 0.094991 f(1.625) &approx 0.055235 f(1.875) &approx 0.038308 :

Passo 8

Aplicando a Regra do Ponto Médio:
Ponto Médio &= 0.25 times (0.999756 + 0.849807 + 0.800000 + 0.693518 + 0.242424 + 0.094991 + 0.055235 + 0.038308) &= 0.25 times 3.773038 &approx 0.943260 é

Passo 9

Regra de Simpson: Essa regra combina as ideias da Regra do Trapézio e do Ponto Médio para uma melhor aproximação. A fórmula é:
Simpson = h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + dots + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn) ]
Vamos aplicar essa fórmula usando os valores já calculados.

Passo 10

Aplicando a Regra de Simpson:
Simpson &= 0.253 [1.000000 + 4(0.999756) + 2(0.984375) + 4(0.849807) + 2(0.500000) + 4(0.207874) + 2(0.080000) + 4(0.027009) + 0.015625 ] &= 0.253 [1.000000 + 3.999024 + 1.968750 + 3.399228 + 1.000000 + 0.831496 + 0.160000 + 0.108036 + 0.015625 ] &= 0.253 times 12.381158 &approx 0.083333 times 12.381158 &approx 1.031765

Resposta

(a) Regra do Trapézio:
(b) Regra do Ponto Médio:
© Regra de Simpson:

Exercícios relacionados