Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
. Além disso, também queremos descobrir a taxa de variação de
nesse ponto na direção de um vetor
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável, formar o vetor gradiente e depois usar esse vetor para encontrar a taxa de variação na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Em relação a
:
E em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos formar o vetor gradiente juntando essas derivadas parciais:
Passo 4
Vamos calcular o vetor gradiente no ponto
. Substituindo esses valores na expressão do gradiente:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação direcional de
em
na direção do vetor
, precisamos primeiro garantir que o vetor
seja um vetor unitário (isto é, tenha comprimento 1). Vamos supor que já temos esse vetor
normalizado.
A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o vetor gradiente no ponto
e o vetor direção
:
Resposta
O vetor gradiente de
no ponto
é
. A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é dada pelo produto escalar
.