Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u v w ; P = (0, 1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função no ponto . Além disso, também queremos descobrir a taxa de variação de nesse ponto na direção de um vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável, formar o vetor gradiente e depois usar esse vetor para encontrar a taxa de variação na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .
A derivada parcial de em relação a é:
Em relação a :
E em relação a :

Passo 3

Agora, vamos formar o vetor gradiente juntando essas derivadas parciais:

Passo 4

Vamos calcular o vetor gradiente no ponto . Substituindo esses valores na expressão do gradiente:

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação direcional de em na direção do vetor , precisamos primeiro garantir que o vetor seja um vetor unitário (isto é, tenha comprimento 1). Vamos supor que já temos esse vetor normalizado.
A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o vetor gradiente no ponto e o vetor direção :

Resposta

O vetor gradiente de no ponto é . A taxa de variação de em na direção do vetor é dada pelo produto escalar .

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