Use seções transversais para calcular o volume de uma calota esférica de raio r e altura h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre calcular o volume de uma calota esférica, que é aquela parte de uma esfera cortada por um plano. Para isso, vamos usar seções transversais, que são fatias fininhas da calota. Vamos precisar conhecer um pouco de cálculo integral para somar todas essas fatias e encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma calota esférica. Imagine uma esfera com raio r. Se cortarmos essa esfera com um plano, a parte superior que fica é a calota esférica, cuja altura é h. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa parte.

Passo 3

Para calcular o volume usando seções transversais, vamos considerar uma fatia muito fina da calota a uma certa altura y. Essa fatia tem uma espessura infinitesimal e uma área circular. Precisamos expressar o raio dessa fatia em termos de y.

Passo 4

Vamos desenhar um diagrama. Suponha que o centro da esfera está na origem de um sistema de coordenadas, e o plano que corta a esfera está paralelo ao eixo y. A distância do centro da esfera até o plano é .
De acordo com o teorema de Pitágoras, o raio x da fatia a uma altura y é dado por:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

A área da seção transversal nessa altura y é:
Para encontrar o volume da calota esférica, vamos integrar essa área desde até :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando nos limites:

Passo 7

Fatorando :

Resposta

O volume da calota esférica é:

Exercícios relacionados

Considere F o campo vetorial definido em S=R^2-(0,0) pela equação
F(x, y) & =P(x, y) i+Q(x, y) j & =-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
Mostre que
partial thetapartial x=-yx^2+y^2, partial thetapartial y=xx^2+y^2
para todo (x, y) em T. Isto mostra que theta é um potencial para F no conjunto T. Este exercício ilustra que a existência de uma função potencial depende não apenas do campo vetorial F, mas também do conjunto onde ele está definido.
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y = x^2, x = y^2 em torno do eixo y = 1
Seja S = R^n - {(0,0)}, Seja r = ||x|| e seja F(x) campo vetorial definido em S pela equação
F(x) = r^p * ||x||
onde p é uma constante real. Encontre um potencial para F em S. O caso p = -2 deve ser tratado separadamente.
Considere o campo vetorial
F(x, y) = (e^z, 2 y z, x e^z + y^2)
Determine se o campo F é conservativo.