Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y = x^2, x = y^2 em torno do eixo y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno da reta . A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicar o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso ajuda a definir os limites de integração. Temos e . Substituindo uma na outra:
Resolvendo :
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região. A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma parábola que abre para a direita. A região entre elas está entre e .

Passo 4

Como vamos rodar essa região em torno da reta , precisamos determinar as distâncias das curvas até essa reta para formar os discos ou anéis. Nesse caso, será mais fácil integrar em relação a .

Passo 5

Identificamos que, para cada valor de no intervalo [0, 1], o limite esquerdo em é e o limite direito é (obtido de ).

Passo 6

A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é a distância da reta de rotação até a borda externa.
  • é a distância da reta de rotação até a borda interna.

Passo 7

Para nossa situação:
  • A borda externa é .
  • A borda interna é .
  • A reta de rotação é , então a distância vertical até cada curva é .

Passo 8

Calculando e :
No entanto, como estamos rotacionando em torno de uma linha horizontal, precisamos considerar a horizontalização das fórmulas. A distância real será baseada na posição horizontal:
A fórmula correta para o método dos anéis, quando rotacionamos em torno de uma linha horizontal, envolve a diferença nas posições horizontais multiplicadas pela altura.
Porém, neste caso, opte por usar o método de discos em relação a .

Passo 9

Reformulando, o volume será:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno da reta é unidades cúbicas.

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