Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicar o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso ajuda a definir os limites de integração. Temos
e
. Substituindo uma na outra:
Resolvendo
:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é uma parábola que abre para a direita. A região entre elas está entre
e
.
Passo 4
Como vamos rodar essa região em torno da reta
, precisamos determinar as distâncias das curvas até essa reta para formar os discos ou anéis. Nesse caso, será mais fácil integrar em relação a
.
Passo 5
Identificamos que, para cada valor de
no intervalo [0, 1], o limite esquerdo em
é
e o limite direito é
(obtido de
).
Passo 6
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância da reta de rotação até a borda externa. -
é a distância da reta de rotação até a borda interna.
Passo 7
Para nossa situação:
- A borda externa é
. - A borda interna é
. - A reta de rotação é
, então a distância vertical até cada curva é .
Passo 8
Calculando
e
:
No entanto, como estamos rotacionando em torno de uma linha horizontal, precisamos considerar a horizontalização das fórmulas. A distância real será baseada na posição horizontal:
A fórmula correta para o método dos anéis, quando rotacionamos em torno de uma linha horizontal, envolve a diferença nas posições horizontais multiplicadas pela altura.
Porém, neste caso, opte por usar o método de discos em relação a
.
Passo 9
Reformulando, o volume será:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
é
unidades cúbicas.
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Considere o campo vetorial
Calcule a integral de linha
, onde
é dada por
, com
.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Encontre a solução geral da EDO (1).
(a) Encontre a solução geral da EDO (1).
Considere
o campo vetorial definido em
pela equação
Mostre que
para todo
em
. Isto mostra que
é um potencial para
no conjunto
. Este exercício ilustra que a existência de uma função potencial depende não apenas do campo vetorial
, mas também do conjunto onde ele está definido.
Use seções transversais para calcular o volume de uma calota esférica de raio
e altura
.