Considere o campo vetorial
F(x, y) = (e^z, 2 y z, x e^z + y^2)
Determine se o campo F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um campo vetorial que depende das variáveis , e :
Nossa missão é descobrir se esse campo é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de campos conservativos e o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar. Uma das propriedades mais importantes dos campos conservativos é que seu rotacional é zero. Ou seja, se calcularmos o rotacional de e der , então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Onde . No nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

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