Use seguinte fórmula para mostrar que é contínuo em toda a reta. Conclua que é contínua em todos os pontos da reta, exceto os pontos da forma .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com funções contínuas. Precisamos usar a fórmula para mostrar que a função cosseno, , é contínua em toda a reta real. Além disso, devemos concluir que a função tangente, , também é contínua em todos os pontos, exceto nos pontos da forma , onde é um número inteiro.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa uma função ser contínua. Simplificando, uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “interrupções” nesse ponto. Para ser contínua em toda a reta real, essa propriedade deve valer para qualquer valor de .

Passo 3

Sabemos que a função seno, , é contínua em todos os pontos da reta real. Isso é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas básicas.

Passo 4

Utilizando a fórmula dada no exercício, , podemos ver que a função cosseno é basicamente uma função seno deslocada horizontalmente. Como o deslocamento horizontal não afeta a continuidade da função, podemos concluir que também é contínua em toda a reta real.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função tangente, . Sabemos que . Para que a tangente seja contínua em um ponto, precisamos que tanto o seno quanto o cosseno sejam definidos e contínuos nesse ponto.

Passo 6

Sabemos que é zero em pontos onde , onde é um inteiro. Nessas posições, o denominador de se torna zero, o que torna a função tangente indefinida nesses pontos. Portanto, não é contínua nesses pontos específicos.

Passo 7

Em todos os outros pontos, onde , a função tangente está bem definida e como o seno e o cosseno são contínuos ali, a tangente também será contínua.

Resposta

Portanto, é contínua em toda a reta real, e é contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma , onde .

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