Use seguinte fórmula
para mostrar que
é contínuo em toda a reta. Conclua que
é contínua em todos os pontos da reta, exceto os pontos da forma
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com funções contínuas. Precisamos usar a fórmula
para mostrar que a função cosseno,
, é contínua em toda a reta real. Além disso, devemos concluir que a função tangente,
, também é contínua em todos os pontos, exceto nos pontos da forma
, onde
é um número inteiro.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa uma função ser contínua. Simplificando, uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “interrupções” nesse ponto. Para ser contínua em toda a reta real, essa propriedade deve valer para qualquer valor de
.
Passo 3
Sabemos que a função seno,
, é contínua em todos os pontos da reta real. Isso é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas básicas.
Passo 4
Utilizando a fórmula dada no exercício,
, podemos ver que a função cosseno é basicamente uma função seno deslocada horizontalmente. Como o deslocamento horizontal não afeta a continuidade da função, podemos concluir que
também é contínua em toda a reta real.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função tangente,
. Sabemos que
. Para que a tangente seja contínua em um ponto, precisamos que tanto o seno quanto o cosseno sejam definidos e contínuos nesse ponto.
Passo 6
Sabemos que
é zero em pontos onde
, onde
é um inteiro. Nessas posições, o denominador de
se torna zero, o que torna a função tangente indefinida nesses pontos. Portanto,
não é contínua nesses pontos específicos.
Passo 7
Em todos os outros pontos, onde
, a função tangente está bem definida e como o seno e o cosseno são contínuos ali, a tangente também será contínua.
Resposta
Portanto,
é contínua em toda a reta real, e
é contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma
, onde
.