Use a segunda derivada para estudar a concavidade e pontos de inflexão de
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar a segunda derivada da função
para estudar a concavidade dela e encontrar os pontos de inflexão. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções. O que a gente vai precisar é calcular a segunda derivada de
, analisar onde ela é positiva ou negativa para entender a concavidade, e identificar onde ocorre mudança de concavidade para achar os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função
. Para isso, a gente precisa derivar
duas vezes em relação a sua variável. Vamos chamar a primeira derivada de
e a segunda derivada de
.
Passo 3
Depois de calcular a segunda derivada
, a gente analisa onde ela é positiva e onde é negativa. Se
, significa que a concavidade da função está voltada para cima (como uma “sorriso”). Se
, a concavidade está voltada para baixo (como uma “carinha triste”).
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, a gente procura os valores de
onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso geralmente acontece onde
ou onde a segunda derivada não está definida. É importante verificar se realmente ocorre essa troca de concavidade nesses pontos para confirmar que são de fato pontos de inflexão.
Resposta
Seguindo esses passos, a gente consegue determinar onde a função
é côncava para cima ou para baixo e identificar os pontos de inflexão onde a concavidade muda. A resposta final será a descrição dessas regiões de concavidade e a localização dos pontos de inflexão na função
.
Exercícios relacionados
Existem assíntotas horizontais ou verticais para f?
Obtenha o domínio e estude o sinal de
.
Use a primeira derivada para estudar o crescimento de
e os intervalos onde
é constante.
Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de
.