Use a segunda derivada para estudar a concavidade e pontos de inflexão de .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar a segunda derivada da função para estudar a concavidade dela e encontrar os pontos de inflexão. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções. O que a gente vai precisar é calcular a segunda derivada de , analisar onde ela é positiva ou negativa para entender a concavidade, e identificar onde ocorre mudança de concavidade para achar os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função . Para isso, a gente precisa derivar duas vezes em relação a sua variável. Vamos chamar a primeira derivada de e a segunda derivada de .

Passo 3

Depois de calcular a segunda derivada , a gente analisa onde ela é positiva e onde é negativa. Se , significa que a concavidade da função está voltada para cima (como uma “sorriso”). Se , a concavidade está voltada para baixo (como uma “carinha triste”).

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, a gente procura os valores de onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso geralmente acontece onde ou onde a segunda derivada não está definida. É importante verificar se realmente ocorre essa troca de concavidade nesses pontos para confirmar que são de fato pontos de inflexão.

Resposta

Seguindo esses passos, a gente consegue determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo e identificar os pontos de inflexão onde a concavidade muda. A resposta final será a descrição dessas regiões de concavidade e a localização dos pontos de inflexão na função .

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