Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada.
. (erro menor que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 a 0,4 usando séries de potência. Isso significa que vamos expandir a função
em uma série infinita e integrar termo a termo. Nosso objetivo é chegar a uma aproximação que tenha um erro menor que
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre séries de potência e como integrá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
em uma série de potências. A gente pode usar a expansão binomial para isso. Lembrando que:
Usando a fórmula do binômio de Newton para expoentes fracionários:
onde
são os coeficientes binomiais. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular os primeiros termos da série:
Essa é a nossa série de potência para
.
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo da série de 0 a 0,4:
Integrando termo a termo:
Calculando cada termo em
:
Passo 5
Vamos calcular os valores numéricos dos termos até que o próximo termo seja menor que
:
Calculando:
A soma até o terceiro termo já nos dá uma aproximação muito boa, e os termos seguintes contribuem com valores menores que
.
Resposta
A aproximação da integral é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.
Se
! para todo
, encontre a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência.
Seja
. Determine:
.