Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada. integral0^0,4 raiz1+x^4 d x. (erro menor que 5 times 10^-6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de raiz1 + x^4 de 0 a 0,4 usando séries de potência. Isso significa que vamos expandir a função raiz1 + x^4 em uma série infinita e integrar termo a termo. Nosso objetivo é chegar a uma aproximação que tenha um erro menor que 5 times 10^-6. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre séries de potência e como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função raiz1 + x^4 em uma série de potências. A gente pode usar a expansão binomial para isso. Lembrando que:
raiz1 + x^4 = (1 + x^4)^1/2
Usando a fórmula do binômio de Newton para expoentes fracionários:
(1 + y)^k = sumn=0^infty binomkn y^n
onde binomkn são os coeficientes binomiais. Aqui, y = x^4 e k = 12.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos da série:
(1 + x^4)^1/2 = 1 + 12x^4 - 18x^8 + 116x^12 - 5128x^16 + cdots
Essa é a nossa série de potência para raiz1 + x^4.

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo da série de 0 a 0,4:
integral0^0,4 raiz1 + x^4 , dx = integral0^0,4 (1 + 12x^4 - 18x^8 + 116x^12 - 5128x^16 + cdots ) dx
Integrando termo a termo:
= [ x + 12 cdot x^55 - 18 cdot x^99 + 116 cdot x^1313 - 5128 cdot x^1717 + cdots ]0^0,4
Calculando cada termo em x = 0,4:
= 0,4 + 110 cdot (0,4)^5 - 172 cdot (0,4)^9 + 1208 cdot (0,4)^13 - 52176 cdot (0,4)^17 + cdots

Passo 5

Vamos calcular os valores numéricos dos termos até que o próximo termo seja menor que 5 times 10^-6:
0,4 + 110 cdot 0,01024 - 172 cdot 0,000262144 + 1208 cdot 0,000016777216 - 52176 cdot 0,000001073741824 + cdots
Calculando:
= 0,4 + 0,001024 - 0,000003635 + 0,0000000807 - 0,00000000246 + cdots
A soma até o terceiro termo já nos dá uma aproximação muito boa, e os termos seguintes contribuem com valores menores que 5 times 10^-6.

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente 0,401024.

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = x^2 * tg^(-1)(x^3).
Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.
F(x, y, z) = (cos(x), sen(y), e^z)
Se f^(n)(0) = (n + 1) ! para todo n in N, encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência.
Seja f(x) = x^7/35 - x^5/12 - x^3/8 + 3. Determine:
f'''(1).