Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = x^2 * tg^(-1)(x^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e propriedades das funções inversas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para isso, basta substituir por na série que já temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por para obter :

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, consideramos a condição original da série de , que era . Isso implica que .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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