Se
! para todo
, encontre a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries de Maclaurin. O enunciado nos diz que a n-ésima derivada de uma função
em 0 é igual a
para todo
natural. Para encontrar a série de Maclaurin dessa função e determinar seu raio de convergência, vamos precisar entender como construir uma série de Maclaurin a partir das derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série de Maclaurin de uma função
é uma representação em série de potências centrada em 0. Ela é dada por:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em 0.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
. Vamos substituir esse valor na fórmula da série de Maclaurin:
Passo 4
Simplificando a fração
, temos:
Portanto, a série de Maclaurin fica:
Passo 5
Agora, precisamos somar essa série. Reconhecemos que:
Essa é uma série conhecida que converge para
quando
.
Passo 6
Então, concluímos que a série de Maclaurin de
é
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e seu raio de convergência é
.
Exercícios relacionados
Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada.
. (erro menor que
.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Seja
. Determine:
.
Seja
uma função dada por
Determine: