Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente na parte de decomposição de frações racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então quebrar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar um em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, usamos o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração como a soma de duas frações simples:
Aqui, e são constantes que devemos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Para o termo com :
E para o termo constante:
Passo 6
Já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, temos:
Passo 7
Agora, voltamos à integral original com as frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
A integral de é bem conhecida:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Então:
Passo 9
Juntando as integrais:
Podemos simplificar usando as propriedades dos logaritmos: