Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente na parte de decomposição de frações racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então quebrar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar um em evidência:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, usamos o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração como a soma de duas frações simples:
Aqui, e são constantes que devemos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Para o termo com :
E para o termo constante:

Passo 6

Já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora, voltamos à integral original com as frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

A integral de é bem conhecida:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Então:

Passo 9

Juntando as integrais:
Podemos simplificar usando as propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Reduza à forma cada uma das expressões .
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