Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
integral 12 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente na parte de decomposição de frações racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então quebrar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 + x = x(2x + 1) . Podemos colocar um integral 1x(2x + 1) dx em evidência:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, usamos o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração 1x(2x + 1) = Ax + B2x + 1 como a soma de duas frações simples:
Aqui, e são constantes que devemos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = A(2x + 1) + Bx para eliminar os denominadores:
1 = (2A + B)x + A
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Para o termo com 2A + B = 0 :
A = 1
E para o termo constante:

Passo 6

Já sabemos que 2(1) + B = 0 Rightarrow B = -2 . Substituindo esse valor na primeira equação:
1x(2x + 1) = 1x - 22x + 1
Então, temos:

Passo 7

Agora, voltamos à integral original com as frações parciais:
integral 1x dx - 2 integral 12x + 1 dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

A integral de integral 1x dx = ln|x| é bem conhecida:
-2 integral 12x + 1 dx = -2 integral 1u cdot du2 = -integral 1u du = -ln|u| = -ln|2x + 1|
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Então:

Passo 9

Juntando as integrais:
ln|x| - ln|2x + 1| + C
Podemos simplificar usando as propriedades dos logaritmos:
ln|x2x + 1| + C

Resposta

A integral ln|x2x + 1| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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