Use uma tabela para encontrar a transformada inversa de Laplace. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve usar teoria sobre transformadas de Laplace e métodos de frações parciais para simplificar a expressão antes de encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, a gente vai decompôr a fração em partes menores usando frações parciais. Queremos escrever como , onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, ficamos com:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos para facilitar a comparação.
Passo 4
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de de ambos os lados:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B, C e D.
Passo 6
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Da segunda equação, .
Substituindo na quarta equação:
Então, .
Passo 7
Agora que temos os valores:
Substituindo de volta na decomposição das frações parciais:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente usando uma tabela de transformadas de Laplace.