Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema Binomial para calcular uma soma específica: . Ou seja, estamos somando os coeficientes binomiais com índices pares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Binomial e como ele pode nos ajudar a somar esses termos de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
Isso quer dizer que, ao expandirmos , os coeficientes dos termos são os coeficientes binomiais .

Passo 3

Agora, queremos somar apenas os coeficientes binomiais onde é par, ou seja, . Para isolar esses termos, vamos considerar duas substituições no Teorema Binomial:
  1. Substituir por 1:
  1. Substituir por -1:
(Nessa última igualdade, usamos que , então para ).

Passo 4

Agora, vamos somar essas duas equações:
Mas, pelo desenvolvimento das somas, essa soma dupla na verdade está somando apenas os termos com par duas vezes e os termos com ímpar uma vez, que cancelam na segunda soma. Então, isolando os termos pares:

Passo 5

Para encontrar a soma que nos interessa, basta dividir ambos os lados por 2:

Resposta

A soma é igual a .

Exercícios relacionados

Mostre que para todo e que, portanto,
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
Mostre que se para todo , então . Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para na expressão para (tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.
Em cada um dos itens a seguir, determine:
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