Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
©
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema Binomial para calcular uma soma específica:
. Ou seja, estamos somando os coeficientes binomiais com índices pares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Binomial e como ele pode nos ajudar a somar esses termos de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
Isso quer dizer que, ao expandirmos
, os coeficientes dos termos são os coeficientes binomiais
.
Passo 3
Agora, queremos somar apenas os coeficientes binomiais onde
é par, ou seja,
. Para isolar esses termos, vamos considerar duas substituições no Teorema Binomial:
- Substituir
por 1:
- Substituir
por -1:
(Nessa última igualdade, usamos que
, então
para
).
Passo 4
Agora, vamos somar essas duas equações:
Mas, pelo desenvolvimento das somas, essa soma dupla na verdade está somando apenas os termos com
par duas vezes e os termos com
ímpar uma vez, que cancelam na segunda soma. Então, isolando os termos pares:
Passo 5
Para encontrar a soma que nos interessa, basta dividir ambos os lados por 2:
Resposta
A soma
é igual a
.