Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( c ) e ( d ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© binomn0+binomn2+binomn4+cdots;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema Binomial para calcular uma soma específica: . Ou seja, estamos somando os coeficientes binomiais com índices pares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Binomial e como ele pode nos ajudar a somar esses termos de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Isso quer dizer que, ao expandirmos , os coeficientes dos termos são os coeficientes binomiais .

Passo 3

Agora, queremos somar apenas os coeficientes binomiais onde (1 + 1)^n = sumk=0^n binomnk 1^n-k 1^k = sumk=0^n binomnk = 2^n é par, ou seja, (1 - 1)^n = sumk=0^n binomnk 1^n-k (-1)^k = sumk=0^n binomnk (-1)^k = 0 . Para isolar esses termos, vamos considerar duas substituições no Teorema Binomial:
  1. Substituir por 1:
  1. Substituir por -1:
(Nessa última igualdade, usamos que , então para ).

Passo 4

Agora, vamos somar essas duas equações:
(1 + 1)^n + (1 - 1)^n = 2^n + 0 = 2^n
Mas, pelo desenvolvimento das somas, essa soma dupla na verdade está somando apenas os termos com 2 times ( binomn0 + binomn2 + binomn4 + cdots ) = 2^n par duas vezes e os termos com ímpar uma vez, que cancelam na segunda soma. Então, isolando os termos pares:

Passo 5

Para encontrar a soma que nos interessa, basta dividir ambos os lados por 2:
binomn0 + binomn2 + binomn4 + cdots = 2^n2 = 2^n-1

Resposta

A soma é igual a .

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