Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
©
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema Binomial para calcular uma soma específica:
. Ou seja, estamos somando os coeficientes binomiais com índices pares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema Binomial e como ele pode nos ajudar a somar esses termos de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
Isso quer dizer que, ao expandirmos
, os coeficientes dos termos são os coeficientes binomiais
.
Passo 3
Agora, queremos somar apenas os coeficientes binomiais onde
é par, ou seja,
. Para isolar esses termos, vamos considerar duas substituições no Teorema Binomial:
- Substituir
por 1:
- Substituir
por -1:
(Nessa última igualdade, usamos que
, então
para
).
Passo 4
Agora, vamos somar essas duas equações:
Mas, pelo desenvolvimento das somas, essa soma dupla na verdade está somando apenas os termos com
par duas vezes e os termos com
ímpar uma vez, que cancelam na segunda soma. Então, isolando os termos pares:
Passo 5
Para encontrar a soma que nos interessa, basta dividir ambos os lados por 2:
Resposta
A soma
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que
para todo
e que, portanto,
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
(d)
Mostre que se
para todo
, então
. Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para
na expressão para
(tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.
Em cada um dos itens a seguir, determine:
© O número de apostas distintas de 6 e de 7 números na loteria Mega-Sena;
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