Use o teorema mestre para derivar um limite assintótico Theta para as seguintes recorrências:
T(n)=2 T(n / 4)+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos usar o Teorema Mestre para encontrar o limite assintótico Theta da recorrência T(n) = 2,T(n4) + 1. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Análise de Algoritmos, especificamente em como resolver recorrências para entender a eficiência de algoritmos recursivos. Para resolver isso, vamos precisar entender os componentes do Teorema Mestre e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Mestre. Ele é uma ferramenta que nos ajuda a resolver recorrências da forma:
T(n) = a,T(nb) + f(n)
Aqui, a representa o número de subproblemas em que o problema original é dividido, b é o fator pelo qual o tamanho do problema é reduzido em cada chamada recursiva, e f(n) é o custo adicional fora das chamadas recursivas (como a combinação dos resultados).
No nosso caso:
  • a = 2 (porque temos 2 chamadas recursivas)
  • b = 4 (porque o tamanho do problema reduz para n4)
  • f(n) = 1 (que é um custo constante)

Passo 3

O Teorema Mestre nos diz que para resolver T(n), precisamos comparar f(n) com n^logb a. Vamos calcular esse expoente:
logb a = log4 2
Sabemos que log4 2 = 12 porque 4^12 = 2.
Então, temos que comparar f(n) = 1 com n^12.

Passo 4

Agora, analisamos qual caso do Teorema Mestre se aplica:
  1. Caso 1: Se f(n) = O(n^logb a - epsilon) para algum epsilon > 0, então T(n) = Theta(n^logb a).
  2. Caso 2: Se f(n) = Theta(n^logb a), então T(n) = Theta(n^logb a cdot log n).
  3. Caso 3: Se f(n) = Omega(n^logb a + epsilon) para algum epsilon > 0, e se certas condições adicionais forem satisfeitas, então T(n) = Theta(f(n)).
No nosso caso, f(n) = 1 = O(n^12 - 12) = O(n^0), e sabemos que 0 < 12. Então, estamos no Caso 1.

Passo 5

Aplicando o Caso 1 do Teorema Mestre, concluímos que:
T(n) = Theta(n^logb a) = Theta(n^12)
Isso significa que o tempo de execução do algoritmo, ou o custo da recorrência, cresce proporcionalmente a raizn à medida que n aumenta.

Resposta

O limite assintótico da recorrência T(n) = 2,T(n4) + 1 é Theta(raizn).

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