Use o teorema mestre para derivar um limite assintótico
para as seguintes recorrências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos usar o Teorema Mestre para encontrar o limite assintótico
da recorrência
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Análise de Algoritmos, especificamente em como resolver recorrências para entender a eficiência de algoritmos recursivos. Para resolver isso, vamos precisar entender os componentes do Teorema Mestre e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Mestre. Ele é uma ferramenta que nos ajuda a resolver recorrências da forma:
Aqui,
representa o número de subproblemas em que o problema original é dividido,
é o fator pelo qual o tamanho do problema é reduzido em cada chamada recursiva, e
é o custo adicional fora das chamadas recursivas (como a combinação dos resultados).
No nosso caso:
-
(porque temos 2 chamadas recursivas) -
(porque o tamanho do problema reduz para ) -
(que é um custo constante)
Passo 3
O Teorema Mestre nos diz que para resolver
, precisamos comparar
com
. Vamos calcular esse expoente:
Sabemos que
porque
.
Então, temos que comparar
com
.
Passo 4
Agora, analisamos qual caso do Teorema Mestre se aplica:
- Caso 1: Se
para algum , então . - Caso 2: Se
, então . - Caso 3: Se
para algum , e se certas condições adicionais forem satisfeitas, então .
No nosso caso,
, e sabemos que
. Então, estamos no Caso 1.
Passo 5
Aplicando o Caso 1 do Teorema Mestre, concluímos que:
Isso significa que o tempo de execução do algoritmo, ou o custo da recorrência, cresce proporcionalmente a
à medida que
aumenta.
Resposta
O limite assintótico da recorrência
é
.