Qual a complexidade de
; e T3(n, k)
, onde
? Da menor, para a maior, determine a ordem das complexidades.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar a complexidade de três funções diferentes e depois ordenar essas complexidades da menor para a maior. Estamos lidando com análise de complexidade de algoritmos, que usa notações como Big-O para descrever como o tempo de execução cresce com o tamanho da entrada $ n $. Vamos precisar entender conceitos como exponenciais, logaritmos e polinômios para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar entendendo cada uma das funções:
-
T₁(n) = 7ⁿ * log n + log n
- Aqui temos um termo exponencial $ 7^n $ multiplicado por um logaritmo de $ n $, e depois somamos outro logaritmo de $ n $.
-
T₂(n) = 2ⁿ + n² + 30
- Nesta função, temos uma parte exponencial $ 2^n $, uma parte polinomial $ n^2 $, e uma constante 30.
-
T₃(n, k) = k + n, onde $ k \leq n $
- Aqui, temos uma soma linear de $ k $ e $ n $, com a condição de que $ k $ não é maior que $ n $.
Passo 3
Vamos analisar a complexidade de cada função separadamente.
Para T₁(n) = 7ⁿ * log n + log n:
- O termo dominante aqui é $ 7^n * log n $, porque exponenciais crescem muito mais rápido que logaritmos.
- Portanto, a complexidade de T₁(n) é da ordem de $ O(7^n * log n) $.
Para T₂(n) = 2ⁿ + n² + 30:
- O termo dominante é $ 2^n $, já que exponenciais superam polinômios e constantes.
- Assim, a complexidade de T₂(n) é $ O(2^n) $.
Para T₃(n, k) = k + n, onde k ≤ n:
- Como $ k $ é no máximo $ n $, podemos considerar $ k $ como $ O(n) $.
- A soma $ k + n $ então é $ O(n) + O(n) = O(n) $.
- Portanto, a complexidade de T₃(n, k) é $ O(n) $.
Passo 4
Agora que temos as complexidades:
- T₃(n, k): $ O(n) $
- T₂(n): $ O(2^n) $
- T₁(n): $ O(7^n * log n) $
Precisamos ordenar da menor para a maior complexidade. Sabemos que:
- $ O(n) $ cresce mais lentamente que qualquer exponencial.
- Entre as exponenciais, $ 2^n $ cresce mais devagar que $ 7^n $, mesmo multiplicado por um logaritmo.
Resposta
Da menor para a maior complexidade, a ordem é:
- T₃(n, k): $ O(n) $
- T₂(n): $ O(2^n) $
- T₁(n): $ O(7^n \cdot \log n) $