Encontre o limite superior para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite superior para a função $ f(n) = n^{2} + 10n $. Isso está relacionado ao estudo de complexidade de algoritmos, onde usamos a notação Big-O para descrever como uma função cresce à medida que $ n $ aumenta. Vamos precisar entender como comparar termos diferentes da função para identificar qual deles domina conforme $ n $ fica grande.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da função $ f(n) = n^{2} + 10n $. Temos dois termos: $ n^{2} $ e $ 10n $. Para encontrar o limite superior, precisamos determinar qual desses termos cresce mais rápido quando $ n $ aumenta.
Passo 3
Sabemos que, para valores grandes de $ n $, o termo com a maior taxa de crescimento domina a função. No nosso caso, $ n^{2} $ cresce mais rápido que $ 10n $ quando $ n $ fica grande. Isso significa que, para grandes valores de $ n $, o termo $ 10n $ se torna relativamente insignificante em comparação com $ n^{2} $.
Passo 4
Agora, usando a notação Big-O, podemos dizer que $ f(n) = n^{2} + 10n $ é limitado superiormente por $ n^{2} $. Em termos matemáticos, isso é representado como:
Passo 5
Então, concluímos que o termo $ n^{2} $ define o limite superior da função $ f(n) $. Isso simplifica a análise da complexidade, já que focamos apenas no termo que mais influencia o crescimento da função.
Resposta
O limite superior para a função $ f(n) = n^{2} + 10n $ é $ O(n^{2}) $.