Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S, para F(x, y, z)=(x^2 y^3 z, sen (x y z), x y z), S é a parte do cone y^= x^2+z^2 que está entre os planos y=0 e y=3, orientado na direção positiva de y.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície de rot F sobre uma parte do cone definida pela equação , entre os planos e . A função vetorial dada é . Vamos precisar entender o que é o rotacional de , parametrizar a superfície e aplicar o teorema para fazer essa conta. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , denotado por ou , nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de cada ponto. Para calcular , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional de .

Passo 3

Calculando a primeira componente:
partial F3partial y = partial (x y z)partial y = x z
partial F2partial z = partial sen(x y z)partial z = x y cos(x y z)

Passo 4

Calculando a segunda componente:
partial F1partial z = partial (x^2 y^3 z)partial z = x^2 y^3
partial F3partial x = partial (x y z)partial x = y z
Segunda componente: x^2 y^3 - y z

Passo 5

Calculando a terceira componente:
partial F2partial x = partial sen(x y z)partial x = y z cos(x y z)
partial F1partial y = partial (x^2 y^3 z)partial y = 3 x^2 y^2 z

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos o rotacional de nabla times F = ( x z - x y cos(x y z), x^2 y^3 - y z, y z cos(x y z) - 3 x^2 y^2 z ) :

Passo 7

Segundo o Teorema de Stokes, a integral de superfície de integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr sobre é igual à integral de linha de ao longo da borda de , que vamos chamar de . Matematicamente:
Então, precisamos parametrizar a curva , que é a interseção do cone com o plano .

Passo 8

No plano 3 = x^2 + z^2 , a equação do cone fica:
x = raiz3 cos theta, z = raiz3 sin theta, y = 3
Isso representa um círculo de raio theta in [0, 2pi] no plano . Vamos parametrizar essa curva usando coordenadas cilíndricas. Podemos definir:

Passo 9

Agora, vamos expressar o vetor posição r(theta) = ( raiz3 cos theta, 3, raiz3 sin theta ) e seu derivado em relação a drdtheta = ( -raiz3 sin theta, 0, raiz3 cos theta ) :

Passo 10

Vamos substituir F(r(theta)) = ( (raiz3 cos theta)^2 cdot 3^3 cdot raiz3 sin theta, sen(raiz3 cos theta cdot 3 cdot raiz3 sin theta), raiz3 cos theta cdot 3 cdot raiz3 sin theta ) na função F(r(theta)) = ( 3 cos^2 theta cdot 27 cdot raiz3 sin theta, sen(9 cos theta sin theta), 9 cos theta sin theta ) :
Simplificando:

Passo 11

Agora, calculamos o produto escalar F cdot drdtheta = 81 raiz3 cos^2 theta sin theta cdot (-raiz3 sin theta) + sen(9 cos theta sin theta) cdot 0 + 9 cos theta sin theta cdot raiz3 cos theta :
= -81 cdot 3 cos^2 theta sin^2 theta + 0 + 9 raiz3 cos^2 theta sin theta
= -243 cos^2 theta sin^2 theta + 9 raiz3 cos^2 theta sin theta

Passo 12

Agora, integramos de ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -243 cos^2 theta sin^2 theta + 9 raiz3 cos^2 theta sin theta ) dtheta a -243 integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta + 9 raiz3 integral0^2pi cos^2 theta sin theta dtheta :
Vamos separar as integrais:

Passo 13

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta sin^2 theta = 14 sin^2 2theta = 14 ( 1 - cos 4theta2 ) = 18 - 18 cos 4theta
Então:
integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta = 18 integral0^2pi dtheta - 18 integral0^2pi cos 4theta dtheta = 18 cdot 2pi - 0 = pi4
Segunda integral:
integral0^2pi cos^2 theta sin theta dtheta
Fazemos a substituição integral0^2pi cos^2 theta sin theta dtheta = -integral1^1 u^2 du = 0 , então . Quando , ; quando , .

Passo 14

Agora, juntando os resultados:
-243 cdot pi4 + 9 raiz3 cdot 0 = -243pi4

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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