Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
, sen
,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, orientado na direção positiva de
.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície de rot F sobre uma parte do cone definida pela equação
, entre os planos
e
. A função vetorial dada é . Vamos precisar entender o que é o rotacional de
, parametrizar a superfície e aplicar o teorema para fazer essa conta. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
, denotado por
ou
, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de cada ponto. Para calcular
, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional de
.
Passo 3
Calculando a primeira componente:
Passo 4
Calculando a segunda componente:
Passo 5
Calculando a terceira componente:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos o rotacional de
:
Passo 7
Segundo o Teorema de Stokes, a integral de superfície de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da borda de
, que vamos chamar de
. Matematicamente:
Então, precisamos parametrizar a curva
, que é a interseção do cone
com o plano
.
Passo 8
No plano
, a equação do cone fica:
Isso representa um círculo de raio
no plano
. Vamos parametrizar essa curva usando coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Passo 9
Agora, vamos expressar o vetor posição
e seu derivado em relação a
:
Passo 10
Vamos substituir
na função
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 12
Agora, integramos de
a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 13
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Segunda integral:
Fazemos a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 14
Agora, juntando os resultados:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja a curva
parametrizada por
. Calcule o comprimento de
.
Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela de
,
.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) ,
é a fronteira do semicilindro sólido
.
d)