Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da casca cilíndrica para encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos identificar onde as curvas se interceptam, configurar a integral usando o método das cascas e, por fim, calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites de integração. Temos:
Igualando as duas expressões para
:
Vamos resolver essa equação:
Fatorando:
Então,
ou
.
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral usando o método da casca cilíndrica. Esse método é útil quando estamos girando em torno do eixo
, e a gente integra em termos de
.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndicas é:
Aqui:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação (eixo ), que no nosso caso é apenas . -
e são as funções que definem a altura da casca. Precisamos identificar qual função está por cima na região de integração.
Vamos ver qual função está acima entre
e
:
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula:
Simplificando dentro do parêntese:
Então, a integral fica:
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
, sen
,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, orientado na direção positiva de
.
Seja a curva
parametrizada por
. Calcule o comprimento de
.
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) ,
é a fronteira do semicilindro sólido
.
d)
Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
a) , e
.
b) , e
a)
b)